Basis eines Unterraums

19.07.2015, 20:47

Jefferson1992

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Basis eines Unterraums

Huhu,

$\begin{eqnarray*} V=R^{4}, U=\left\{ (a,a-b,a-c,b+c)\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a,b,c \in R \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass U Unterraum von V ist. Geben Sie eine Basis von U an. Ergänzen Sie die Basis von U zu einer Basis von V.

Ich möchte gerne die einzelnen Schritte nochmal durchgehen, da diese Thematik sehr wichtig ist:

Also zuerst beweise ich, dass es ein Unterraum ist:

1. $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ gilt das.

2. $\begin{eqnarray*} u,v \in U -> u+v \in U \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ (u_1+v_1)-(u_2+v_2) \\ (u_1+v_1)-u_3+v_3)\\ (u_2+v_2)+(u_3+v_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

reicht das, oder muss ich da noch was zeigen?

3. $\begin{eqnarray*} \lambda*u \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda u_1\\ \lambda (u_1-u_2) \\ \lambda (u_1-u_3)\\ \lambda (u_2+u_3) \end{pmatrix}=\lambda *\begin{pmatrix} u_1\\ (u_1-u_2) \\ (u_1-u_3)\\ (u_2+u_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur Basis:

Ich habe mir gedacht, ich setze a=1, b=1, c=0 und habe dann einen Vektor für den die Eigenschaft erfüllt ist. Dann nehme ich 3 unabhängige Vektoren.

Dann hätte ich zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0 & 1&1 \\ 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} dim U=4 \end{eqnarray*}$

Aber jetzt kann ich die Basis ja nicht mehr ergänzen, wo ist mein Fehler?

Danke!!!

19.07.2015, 21:10

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U=\left\{ (a,a-b,a-c,b+c)\right\} \end{eqnarray*}$

Dieses U ist alles andere als wohldefiniert. Was ist denn a, was b oder c?

Zitat:

reicht das, oder muss ich da noch was zeigen?

Nein, es hat mit der Aufgabe nichts zu tun - mir scheint dir ist nicht klar was U ist.
Ist $\begin{eqnarray*} u=(_1,u_2,u_3,u_4), v=(v_1,v_2,v_3,v_4) \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} u+v=(u_1+v_2,u_2+v_2,u_3+v_3,u_3+v_4) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich habe mir gedacht, ich setze a=1, b=1, c=0 und habe dann einen Vektor für den die Eigenschaft erfüllt ist. Dann nehme ich 3 unabhängige Vektoren.

Der erste Schritt ist nachvollziehbar, wobei wo ist dieser Vektor?
Und wie und wozu nimmst drei unabh. Vektoren?

19.07.2015, 21:29

Jefferson1992

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Zitat:

Dieses U ist alles andere als wohldefiniert. Was ist denn a, was b oder c?

$\begin{eqnarray*} a,b,c \in R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nein, es hat mit der Aufgabe nichts zu tun - mir scheint dir ist nicht klar was U ist.

Das ist mir klar, aber ich muss doch prüfen, ob für sie Summe u+v auch die Eigenschaft gilt (a,a-b,a-c,b+c) oder sehe ich das falsch?

Zitat:

Der erste Schritt ist nachvollziehbar, wobei wo ist dieser Vektor?
Und wie und wozu nimmst drei unabh. Vektoren?

Der Vektor liegt in U.

Die Basis muss U erzeugen und linear unabhängig sein. Ach, muss ich Vektoren wählen, die der Eigenschaft entsprechen?

Also zum Beispiel:

u=(1,1,0,1), v=3,1,2,3, w=(2,1,-3,6)

oder nicht?

19.07.2015, 21:41

Captain Kirk

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Zitat:

auch die Eigenschaft gilt (a,a-b,a-c,b+c)

In wie fern ist das eine Eigenschaft?
Du müsstest zeigen, dass die Summe von der Form (a,a-b,a-c,b+c) ist, sprich: a, b und c finden (in Abhängigkeit von u und v), so, dass u+v=(a,a-b,a-c,b+c)

Zitat:

Also zum Beispiel:

u=(1,1,0,1), v=3,1,2,3, w=(2,1,-3,6)

oder nicht?

Ja, aber wieso ist bei der einmal die Dimension 4 und einmal die Dimension 3. Was ist es denn jetzt?

Wobei es hier eigentlich unnötig ist so verzugehen wie du es tun willst, denn die Aufgabenstellung liefert einem eine Basis mehr oder weniger frei Haus, ebenso die Unterraumeigenschaft. Einfach nur kurz die Definition von U umschreiben.

19.07.2015, 21:59

Jefferson1992

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Zitat:

Du müsstest zeigen, dass die Summe von der Form (a,a-b,a-c,b+c) ist, sprich: a, b und c finden (in Abhängigkeit von u und v), so, dass u+v=(a,a-b,a-c,b+c)

Ich verstehe nicht so ganz, wie ich das anstelle..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ a-b \\ a-c \\ b+c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wobei es hier eigentlich unnötig ist so vorzugehen wie du es tun willst, denn die Aufgabenstellung liefert einem eine Basis mehr oder weniger frei Haus, ebenso die Unterraumeigenschaft. Einfach nur kurz die Definition von U umschreiben.

hmm..

Ich verstehe nicht.. sorry..

19.07.2015, 22:02

Captain Kirk

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(a,a-b,a-c,b+c)=a(1,1,1,0)+b(0,-1,0,1)+c(0,0,-1,1)

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19.07.2015, 22:06

Jefferson1992

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also wähle ich:

1. a=1, b=0, c=0
2. a=0, b=1, c=0
3. a=0, b=0, c=1

richtig?

19.07.2015, 22:10

Captain Kirk

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Zitat:

also wähle ich:

Wofür?
und wieso bei 3. der Nullvektor?

19.07.2015, 22:13

Jefferson1992

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sorry verschrieben:

naja, das was du gemacht hast, ist doch genau das, der nicht?

19.07.2015, 22:17

Captain Kirk

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Zitat:

naja, das was du gemacht hast, ist doch genau das, der nicht?

Nein. Ich hab nichts gewählt. (ich wiederhole meine Frage: Wozu das Wählen?)
Ich habe eine Gleichheit von Vektoren hingeschrieben.
Aus der kann man sehr schnell, die Unterraum-Eigenschaft von U ablesen, ebenso eine Basis von U.

19.07.2015, 22:27

Jefferson1992

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achso, dann keine Ahnung warum wählen..

falsch gedacht.

Aber was kann ich denn da für Eigenschaften ablesen? Sorry, stehe auf dem Schlauch.

Meinst du:

$\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u+v \in U \end{eqnarray*}$

da:

$\begin{eqnarray*} a*(u+v)+b*(u+v)+c*(u+v) \end{eqnarray*}$ oder?

$\begin{eqnarray*} =au+av+bu+bv+cu+cv \in U \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 22:30

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} U=\mathbb R(1,1,1,0) +\mathbb R (0,-1,0,1)+ \mathbb R (0,0,-1,1)=span \{(1,1,1,0) ,(0,-1,0,1), (0,0,-1,1)\} \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 22:44

Jefferson1992

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und da mein Span jetzt genau den Vektor von oben wiederspiegelt, ist das auch ein Erzeugendensystem.

Und da die 3 Vektoren auch noch linear unabhängig sind, was man a sieht, ist es sogar eine Basis.

Aber das ging mir jetzt zu schnell sorry..

Ist es möglich, das wir das morgen weiter machen?

Ich lasse mir das nochmal durch den Kopf gehen, was genau wir gemacht haben und dann frage ich nochmal, denn verstanden habe ich das irgendwie noch nicht so ganz...

Es hängt schon beim Beweis, dass U ein Unterraum ist.

Wie kann man jetzt direkt schließen, dass es ein Unterraum ist, ohne die Axiome durchzugehen?

Danke und bis morgen smile

smile

20.07.2015, 10:20

Jefferson1992

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Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} U=\left\{(a,a-b,a-c,b+c)| a,b,c,\in R\right\} \end{eqnarray*}$

kann ich umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} U=R*(1,1,1,0)+R*(0,-1,0,1)+R*(0,0,-1,1) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, das jeder Vektor, der die Form $\begin{eqnarray*} (a,a-b,a-c,b+c) \end{eqnarray*}$ hat dargestellt werden kann.

Jetzt kann ich diese Richtungsvektoren als Erzeugendensystem nehmen und schauen, ob SIe linear unabhängig sind.

Das sieht man ja, dass die linear unabhängig sind.

Deshalb ist: $\begin{eqnarray*} B_u=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1& 0 & -1 \\ 0 & 1 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich die dann ergänzen möchte zu einer Basis von V, dann muss ich wegen dem Dimensionsunterschied noch ein linear Unabhängigen Vektor dazu nehmen.

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} B_u=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &1 \\ 1 & -1 & 0 &0 \\ 1& 0 & -1 &0\\ 0 & 1 &1 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So aber jetzt bleibt die Frage, warum ist U ein Unterraum von V? Ich habe das mit der Addition noch nicht verinnerlicht... SOrry.

20.07.2015, 10:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jefferson1992
So aber jetzt bleibt die Frage, warum ist U ein Unterraum von V? Ich habe das mit der Addition noch nicht verinnerlicht... SOrry.

Anscheinend hast du auch noch nicht verinnerlicht, was es bedeutet, wenn u ein Element von U ist. Also dieses nochmal in Worten:

u ist ein Element von U genau dann, wenn es reelle Zahlen a_1, b_1 und c_1 gibt, so daß $\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1 - b_1 \\ a_1 - c_1 \\ b_1 + c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt mache analoges für v, bilde die Summe u+v und prüfe, ob obige Bedingung auch für u+v erfüllbar ist.

20.07.2015, 12:22

Jefferson1992

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dann wäre:

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} a_2 \\ a_2-b_2 \\ a_2-c_2 \\ b_2+c_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} u+v=\begin{pmatrix} a_2+a_1 \\ a_1+a_2-b_1-b_2 \\ a_1+a_2-c_1-c_2 \\ b_1+b_2+c_1+c_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann kann ich wg Linearität:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1-b_1 \\ a_1-c_1 \\ b_1+c_1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_2 \\ a_2-b_2 \\ a_2-c_2 \\ b_2+c_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-> Es liegt in U.

Ist das richtig?

20.07.2015, 13:19

klarsoweit

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Das ist weder formal noch von der Begründung korrekt. So wird ein Schuh draus:

$\begin{eqnarray*} u+v = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1-b_1 \\ a_1-c_1 \\ b_1+c_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 \\ a_2-b_2 \\ a_2-c_2 \\ b_2+c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+a_2 \\ a_1-b_1+a_2-b_2 \\ a_1-c_1+a_2-c_2 \\ b_1+c_1+b_2+c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+a_2 \\ a_1+a_2-b_1-b_2 \\ a_1+a_2-c_1-c_2 \\ b_1+b_2+c_1+c_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du schauen, ob der rechte Vektor ein Element von U ist. Das heißt, du mußt a_3, b_3 und c_3 finden, so daß auf u+v die Darstellung $\begin{eqnarray*} u+v = \begin{pmatrix} a_3 \\ a_3-b_3 \\ a_3-c_3 \\ b_3+c_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ paßt.

20.07.2015, 14:08

Jefferson1992

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dazu benenne ich:
$\begin{eqnarray*} a_3=a_1+a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=b_1+b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_3=c_1+c_2<br /> \end{eqnarray*}$
Dann wäre der Vektor $\begin{eqnarray*} \in U \end{eqnarray*}$

Darf ich das?

20.07.2015, 14:22

klarsoweit

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Du darfst das nicht nur, das ist auch die einzig mögliche Chance. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.07.2015, 14:33

Jefferson1992

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ahh! okay, dann geht mir jetzt al ein Lichtlein auf :P Danke!!

SKalarmultiplikation ist klar. Also ist es ein Unterraum.

Und wegen der linearen Hülle, dem erzeugenden System und der linearen Unabhängigkeit ist wie im vorherigen Post das ganze Komplex eine Basis von U.

Okay. Ich denke das habe ich erstmal verstanden.

Kann man eigentlich sagen, wenn eine lineare Hülle existiert, dann ist es ein Unterraum?

20.07.2015, 14:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jefferson1992
SKalarmultiplikation ist klar.

Nun ja, genau so klar oder unklar wie die Addition. Zum besseren Verständnis wäre ein formaler Beweis durchaus angebracht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Jefferson1992
Kann man eigentlich sagen, wenn eine lineare Hülle existiert, dann ist es ein Unterraum?

Nun ja, die Konstruktion der linearen Hülle ist ja darauf angelegt, daß sie die Unterraum-Kriterien erfüllt.

20.07.2015, 14:59

Jefferson1992

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Skalare Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} \lambda*v \in U: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda*v =\begin{pmatrix} \lambda a \\ \lambda (a-b) \\ \lambda (a-c) \\ \lambda (b+c) \end{pmatrix} =\lambda*\begin{pmatrix} a \\ (a-b) \\ (a-c) \\ (b+c) \end{pmatrix}=\lambda*v \end{eqnarray*}$

20.07.2015, 15:07

klarsoweit

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Formal geht das genau anders herum:

$\begin{eqnarray*} \lambda*v = \lambda * \begin{pmatrix} a \\ (a-b) \\ (a-c) \\ (b+c) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda a \\ \lambda (a-b) \\ \lambda (a-c) \\ \lambda (b+c) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du wieder zeigen, daß der Vektor auf der rechten Seite ein Element von U ist.

20.07.2015, 15:18

Jefferson1992

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indem ich

$\begin{eqnarray*} a_2=\lambda*a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=\lambda*b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2=\lambda*c \end{eqnarray*}$

nenne.

20.07.2015, 15:31

klarsoweit

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Richtig.

Freude

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