Eigenvektoren

20.07.2015, 03:14

JonDoe

Eigenvektoren

Hallo liebe Community!

Ich habe hier Verständnissproblem zu dem Rechenschritt des Eigenvektors bezogen auf das Eigenwert-Problem von MAtrizen. ICh versthe es eifnach nicht wieso a²+b² = 1 ist und ich versteh nicht wieso Betrag b = 1/sqrt5 sein soll. Ich habs wirklich versucht aber ich kanns nicht nachvollziehen, kann mir bitte das jemand erklären was da gemacht wurde? smile

20.07.2015, 05:19

IfindU

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RE: Brauche unbedingt Hilfe zu den Eigenvektoren
Man bestimmt erst einmal alle Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} x = (a \quad b) \end{eqnarray*}$ . Es stellt sich raus, dass diese $\begin{eqnarray*} a = -2b \end{eqnarray*}$ erfüllen müssen. Nun will man einen normierten Eigenvektor haben (siehe $\begin{eqnarray*} \| x \| = 1 \end{eqnarray*}$ ). Da $\begin{eqnarray*} x = (a \quad b) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \| x \| = \sqrt { a^2 + b^2 } = 1 \end{eqnarray*}$ , was äquivalent dazu ist, dass $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Setzt man nun die "Eigenwertbeziehung" $\begin{eqnarray*} a = -2b \end{eqnarray*}$ ein, so erhält man $\begin{eqnarray*} 1 = a^2 + b^2 = (-2b)^2 + b^2 = ( 4 + 1) b^2 = 5b^2 \end{eqnarray*}$ , und das ist nunmal nur für $\begin{eqnarray*} b = \pm \frac 1 {\sqrt 5} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

20.07.2015, 13:14

JonDoe

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Ah also einfache Substitution. Danke, das hab ich mir fast schon gedacht Big Laugh

Nur weiß ich nicht wieso es unbedingt die 1 sein muss... auch das was in den Klammern bei den Eigenvektoren steht kann ich nicht nachvollziehen unglücklich

Ist es weil a = -2b und a = 1/3b qausi die Steigung defininieren soll? Also a nach rechts, -2 nach unten und a nach rechts und 1/3 nach oben?

20.07.2015, 13:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von JonDoe
Nur weiß ich nicht wieso es unbedingt die 1 sein muss.

Muß es nicht, aber in diesem Fall sucht man Eigenvektoren, die auf die Länge 1 normiert sind.

Zitat:

Original von JonDoe
auch das was in den Klammern bei den Eigenvektoren steht kann ich nicht nachvollziehen

Was meinst du du?

26.07.2015, 17:03

JonDoe

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rechts neben wo "normierter Eigenvektor" steht... das was in den Klammern als Vekor steht. smile

27.07.2015, 08:43

klarsoweit

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Man hat sich für $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{\sqrt 5} \end{eqnarray*}$ entschieden. Folglich ist dann $\begin{eqnarray*} a = \frac{-2}{\sqrt 5} \end{eqnarray*}$ .

Das ganze als Vektor geschrieben: $\begin{eqnarray*} \vec{x_1} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt 5} \\ \frac{1}{\sqrt 5} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt 5} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . smile

07.10.2015, 21:36

JonDoe

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Hey, also Danke nochmal für die super dolle Hilfeleistung Gott

Ich habe extra 3 Monate vor der Matheklausur reingehauen, weil ich noch unzählige andere klausuren schreiben musste Big Laugh

Deswwegen, ich habe noch eine nachfrage dazu.

Also mir ist aufgefallen, dass bei den meisten normierten Eigenvektoren der Zähler immer 1 ist. Also beim Beispiel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5} } \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und bei dem zweiten ist es im Zähler 3 weil der Bruch 1/3 im Spiel ist? kann ich mir das so merken? Ich habe mir dabei nicht viel gedacht um ehrlich zu sein, so in dem Sinne "ja ist halt so weil der Mathegott es so gesagt hat" LOL Hammer

habe ich, um numal sicher zu gehen dass ich es richtig verstanden habe, ganz formell im Prinzip sowas stehen?
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{9} + 1 ) y² = 1 => \frac{10}{9} y² = 1 => 10y² = 9*1 => y² = \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

Denn komischerweise steht unten 1/sqrt(10)!
Ist das ein Fehler, ich bin nämlich etwas verwirrt

08.10.2015, 08:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von JonDoe
Also mir ist aufgefallen, dass bei den meisten normierten Eigenvektoren der Zähler immer 1 ist. Also beim Beispiel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5} } \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ja, das liegt eben daran, daß man für die Normierung den Eigenvektor mit dem Faktor 1 / "Norm des Eigenvektors" multipliziert. Ebenso könnte aber auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein normierter Eigenvektor sein. Und wo ist da jetzt im Zähler eine 1 ?

Zitat:

Original von JonDoe
habe ich, um numal sicher zu gehen dass ich es richtig verstanden habe, ganz formell im Prinzip sowas stehen?
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{9} + 1 ) y² = 1 => \frac{10}{9} y² = 1 => 10y² = 9*1 => y² = \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

Denn komischerweise steht unten 1/sqrt(10)!
Ist das ein Fehler, ich bin nämlich etwas verwirrt

Ich verstehe jetzt dein Problem nicht. Beim 2. Eigenvektor hast du die Gleichungen $\begin{eqnarray*} a = \frac 1 3 b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 = \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} b = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$ führt. Zu $\begin{eqnarray*} b = \frac{3}{\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$ hast du also $\begin{eqnarray*} a = \frac 1 3 b = \frac{1}{\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$ und damit den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

08.10.2015, 11:03

JonDoe

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Achsoooo.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$ ist also nicht das Ergbenis des vorangegangenen, sondern einfach nur ein Drittel vom $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$ da a = 1/3b, richtig?

Ich habe das Ergbenis wohl anders definiert Big Laugh

08.10.2015, 11:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von JonDoe
Achsoooo. geschockt

Genau.

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