Bestimmung der Halbachse einer Ellipse ohne zweiten Punkt auf der Kontur

20.07.2015, 09:51

Deringhouse

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Bestimmung der Halbachse einer Ellipse ohne zweiten Punkt auf der Kontur

Meine Frage:
Hi Leute,
habe folgendes geometrisches Problem, bei dem ich zur Zeit nicht weiter komme. Ich habe eine Ellipse, die im Kontakt mit einem Kreis ist. Von beiden sind die Koordinaten der Mittelpunkte bekannt. Von der Ellipse ist die Länge der kürzeren Halbachse bekannt und von dem Kreis ist der Radius bekannt. Zu Bestimmen ist die Länge der längeren Halbachse b.

Meine Ideen:
Mein Ansatz bis jetzt war folgender:
Ich habe erst einmal unter der Annahme angefangen, dass ich die Koordinaten des Schnittpunktes von Ellipse und Kreis hätte.
Dann kann ich mir über Winkelbeziehungen die Länge von b herleiten. Das Problem ist jetzt, dass ich die genauen Koordinaten vom Schnittpunkt nicht habe, da er durch die Ellipsenform nicht auf der direkten Verbindungslinie zwischen den beiden Mittelpunkten liegt.

$\begin{eqnarray*} \alpha = \pi /2- arccos\left((P_DR,x-a)/a\right) = arcsin\left((P_DR,x-a)/a\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha )= P_DR,y/b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=| P_DR,y/b | \end{eqnarray*}$

Also wenn mir jemand eine Möglichkeit zeigt diesen Schnittpunkt zu bestimmen, oder eine andere Lösung hat um b zu berechnen würde mir das sehr helfen!

PS: Hab noch eine SKizze des Problems angehängt

20.07.2015, 12:49

riwe

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RE: Bestimmung der Halbachse einer Ellipse ohne zweiten Punkt auf der Kontur
das dürfte auf eine Gleichung vom Grade 4 hinauslaufen.
hast du konkrete Werte?

20.07.2015, 15:40

Deringhouse

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Hi,

die Werte, die ich für die Zeichnung verwendet habe sind:

PM (0; 340)
a = 340
PM_DR (655; - 420)
R_DR = 160

(alles in mm)

20.07.2015, 18:52

riwe

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wenn ich dein etwas verwirrendes Zeug richtig übersetzt habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.07.2015, 19:22

Deringhouse

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Hey,
deine Lösung stimmt zwar mit meiner Skizze überein, allerdings bin ich auf der Suche nach einer rechnerischen Lösung (ich nehme mal an du hast es zeichnerisch gelöst?)

Rein logisch betrachtet kann es ja nur eine Lösung für die Länge der zweiten Halbachse geben, von daher müsste das doch auch rechnerisch machbar sein..

20.07.2015, 20:20

riwe

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Zitat:

Original von Deringhouse
Hey,
deine Lösung stimmt zwar mit meiner Skizze überein, allerdings bin ich auf der Suche nach einer rechnerischen Lösung (ich nehme mal an du hast es zeichnerisch gelöst?)

Rein logisch betrachtet kann es ja nur eine Lösung für die Länge der zweiten Halbachse geben, von daher müsste das doch auch rechnerisch machbar sein..

du scheinst ein Spaßvogel zu sein!
natürlich sind die Werte berechnet
(und dann grafisch "überprüft")

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20.07.2015, 20:58

Deringhouse

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Na dann teil mir doch deinen Lösungsweg mit? verwirrt

verwirrt

20.07.2015, 21:12

riwe

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siehe Beitrag 1

1) Ellipsengleichung
2) Kreisgleichung
3) gemeinsame Tangente

20.07.2015, 21:28

Huggy

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Wie riwe schon sagte, führt das Problem auf eine Polynomgleichung 4. Grades. Obwohl diese im Prinzip noch analytisch lösbar sind, ist es bequemer, sie numerisch zu lösen. Wie man das macht, hängt von den Hilfsmitteln ab, die einem zur Verfügung stehen. Mit einem Superprogramm wie Mathematica geht das fast von allein. Der Befehl NSolve erledigt die ganze Arbeit. Der Rest ist Garnierung.

[attach]38771[/attach]

21.07.2015, 10:01

Deringhouse

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Okay, danke schonmal für eure Unterstützung!
Glaube ich bin schon ein bisschen weiter gekommen.
Im Endeffekt soll das ganze auch programmiertechnisch gelöst werden (in Fortran geschrieben), wobei ich mich damit auch nicht wirklich auskenne Freude

Freude

Habe bisher nur leichte Sachen wie if-Schleifen programmiert, aber keinen Lösungsalgorithmus für Gleichungssysteme..

Was ich bis jetzt verstanden habe ist:
Wenn ich mein b bestimmen will erhalte ich unweigerlich ein Polynom 4. Grades, welches analytisch zwar lösbar ist, aber eine numerische Lösung viel effizienter ist. Numerische Lösung bedeutet hier die Verwendung von Iterationsalgorithmen wie Newton-Raphson oder Bairstow, richtig?
Um diese Nutzen zu können muss ich trotzdem erstmal mein Polynom aufstellen? (Ich gehe mal davon aus, dass es in Fortran nicht einfach einen NSolve Befehl gibt)

Dazu habe ich mir wie von riwe geschrieben meine Ellipsengleichung, meine Kreisgleichung und die beiden allgemeinen Formen der Tangentengleichung für Ellipse bzw Kreis aufgestellt. Weiß jetzt allerdings schon nicht so ganz wie ich daraus auf das gesuchte Polynom komme.

Was mich zusätzlich irritert ist, dass ich jetzt 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten habe (x,y,b,xB,yB [xB und yB als Koordinaten vom Schnittpunkt bzw. Koordinaten wo die Tangenten anliegen). Fehlt mir eine Gleichung?

21.07.2015, 10:46

riwe

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als einfacher unbedarfter Bastler habe ich dein Problem für eine Ellipse in 1. Hauptlage mit der üblichen Bezeichnung der Achsen behandelt
(das läßt sich problemlos auf deine Version übertragen)

es sei also von der Ellipse E gegeben $\begin{eqnarray*} M_E(0/0) \end{eqnarray*}$ und die kleine Achse b,
sowie ein E in $\begin{eqnarray*} B(u/v) \end{eqnarray*}$ berührender Kreis K mit $\begin{eqnarray*} M_K(m/n) \end{eqnarray*}$ und Radius r.
gesucht ist die große Halbachse a.

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }(u-m)^2+(v-n)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

aus der gemeinsamen Tangente folgt

$\begin{eqnarray*} (3)\quad{ }\frac{b^2\cdot u}{a^2\cdot v}=\frac{u-m}{v-n} \end{eqnarray*}$

eliminiere nun a mit (1) und u mit (2), dann bekommst du mit

$\begin{eqnarray*} w=\sqrt{r^2-(v-n)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4)\quad{ }(b^2-v^2)\cdot(v-n)=v\cdot w\cdot (w+m) \end{eqnarray*}$

Quadrieren liefert die gesuchte Gleichung 4. Grades in v, die sich leicht mit einem Näherungsverfahren (ich habe Newton verwendet) lösen läßt, und daraus a

21.07.2015, 15:07

Deringhouse

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Hey,

die Gleichungen für Ellipse und Kreis und die notwendigen Umformungen zu Gleichung (4) hab ich nachvollzogen und nachgearbeitet. Ich bräuchte allerdings doch noch einen Hinweis zu Gleichung (3).

Ich habe die Gleichungen für die Tangente am Kreis und an der Ellipse bei Wikipedia nachgeschaut und versucht diese gleichzusetzen (müssen ja identisch sein) um auf deine Gleichung zu kommen. Komme da allerdings auf kein vernünftiges Ergebnis. Stimmt die Idee oder ist daran schon was verkehrt?

21.07.2015, 15:26

riwe

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Ellipse und Kreis haben eine gemeinsame Tangente im Punkt B, d.h. die Steigung der Tangente, die man durch die 1. Ableitung erhält, ist identisch, also durch implizites Differenzieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\to\frac{x}{a^2}+\frac{y\cdot y^\prime}{b^2}=0 \end{eqnarray*}$

denselben Käse mit der Kreisgleichung und Gleichsetzen ergibt (3) mit B(u/v)

22.07.2015, 10:18

Deringhouse

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Alles klar, die Ableitungen und Gleichung (3) hab ich.
Dann nehme ich Gl. (4), quadriere sie und ersetze das w wieder durch

$\begin{eqnarray*} w=\sqrt{r^2-(v-n)^2} \end{eqnarray*}$

Dann forme ich die Gleichung so um, dass alle Terme auf der rechten Seite stehen und bilde die Ableitung um nach der Iterationsvorschrift und mit geeignetem Startwert

$\begin{eqnarray*} v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)} \end{eqnarray*}$

v berechnen zu können, richtig?

22.07.2015, 11:59

riwe

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Freude

23.07.2015, 11:21

Deringhouse

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Ich bins nochmal...
glaube ich bin jetzt relativ nah an der Lösung dran, aber so 100% passt es noch nicht.
Habe versucht einen konkreten Fall zu rechnen für die Ellipse für die du die Formeln gepostet hast (Zentrum im Ursprung, a auf der x-Achse).

Folgendes habe ich gemacht:

Ausgehend von

$\begin{eqnarray*} (4)\quad{ }(b^2-v^2)\cdot(v-n)=v\cdot w\cdot (w+m) \end{eqnarray*}$

die Gleichung habe ich umgestellt zu

$\begin{eqnarray*} (5)\quad{ } 0=v\cdot w\cdot (w+m)-(b^2-v^2)\cdot(v-n)=f(v) \end{eqnarray*}$

anschließend $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ eingesetzt

$\begin{eqnarray*} (6)\quad{ }0=v \sqrt{r^2-(v-n)^2} (m+\sqrt{r^2-(v-n)^2})-(b^2-v^2) (v-n) \end{eqnarray*}$

und das ganze von wolframalpha quadrieren lassen. Dann noch von wolframalpha einmal nach v ableiten lassen und die beiden so erhaltenen Gleichungen in Matlab kopiert. Dann nach

$\begin{eqnarray*} v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)} \end{eqnarray*}$

ein paar Iterationen rechnen lassen und festgestellt, dass das Ergebnis für v nicht passt.

Ist mein Weg denn so in Ordnung, oder ist daran was falsch?

Die Werte die ich genommen habe sind
b = 3,4
m = 4,2
n = 3,15
r = 1,6
und v0=2

Nach mehreren Iterationen habe ich v = 1,9022. Wenn ich mir das zeichnen lasse sollte der Wert eher so bei ~2,1 liegen.

23.07.2015, 15:24

riwe

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formelmäßig ist alles ok.
ich erhalte wie gewünscht

23.07.2015, 16:32

Deringhouse

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hmmm,
ich werd mich da nochmal dransetzen, vielleicht ist auch irgendwo beim übertrage der formeln etwas schief gelaufen. Die werden ja doch ganz schön lang.

Was hat es eigentlich mit dem quadrieren auf sich? Warum macht man das?
Ein Wurzelterm bleibt ja mindestens immer drin, so wie ich das sehe.

23.07.2015, 18:10

riwe

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nein, das ist ja der Sinn des Quadrierens.
du mußt zuerst das Zeug mit der Wurzel auf eine Seite bringen und erst DANN quadrieren

23.07.2015, 18:31

Deringhouse

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ah ok, da liegt wahrscheinlich der fehler. Guck mir das nachher nochmal an Freude

Freude

23.07.2015, 19:27

riwe

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Augenzwinkern

23.07.2015, 20:29

Deringhouse

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Habs jetzt auch hingekriegt nachdem ich die Gleichung vor dem quadrieren richtig umgestellt habe um die Wurzelterme zu entfernen... (Hätte ich auch selbst drauf kommen können Forum Kloppe

Forum Kloppe

) Meine Gleichung ist zwar nicht so gut sortiert wie deine, aber die Ergebnisse passen jetzt.

Tausend Dank schonmal, hätte das alleine nich hinbekommen.

Werd in nächster Zeit noch mehrere Berechnungen an Ellipsen machen müssen, aber ich sollte ja jetzt eigentlich gewappnet sein. Wenn was nicht klappt meld ich mich hier nochmal smile

smile

23.07.2015, 21:02

riwe

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dann noch viel Spaß Augenzwinkern

Augenzwinkern

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