Kern und Bild einer Abbildung bestimmen

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20.07.2015, 12:35	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild einer Abbildung bestimmen Hallo, Ich schon wieder. Es seien $\begin{eqnarray} V=R^{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: V->V \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung mit: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix}x \\ y \\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y \\ z-x-y \\ z-x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie Kern und Bild von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{3} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also zu Kern f: f(v)=0 y=0 z-x-y=0 z-x=0 Das bedeutet mein Kern ist: $\begin{eqnarray} Kernf=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \in V \|x=z, y=0\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ und das kann ich schreiben als: $\begin{eqnarray} \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray}$ Beim Bild setzt es schon aus, gibt es da einen Trick? Danke!
20.07.2015, 12:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Abbildung bestimmen Hier geht es wohl am schnellsten mit Hilfe der Spalten der Darstellungsmatrix.
20.07.2015, 14:13	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. Also nehme ich die Bilder der Standardbasis als Darstellungsmatrix: Dann hätte ich: $\begin{eqnarray} A=f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So und jetzt ist mein Bild doch $\begin{eqnarray} \langle \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray}$ da der andere Vektor linear abhängig ist oder?
20.07.2015, 14:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt
20.07.2015, 14:19	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay und wie mache ich das jetzt für f^{2}? Das verstehe ich nicht so ganz..
20.07.2015, 14:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Als erstes berechnest du $\begin{eqnarray} f^2 \end{eqnarray}$
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20.07.2015, 14:29	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
20.07.2015, 14:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll das $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ sein? Dann hast du dich verrechnet. Vielleicht auch nur vertippt
20.07.2015, 14:53	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
jop vertipps sorry:P $\begin{eqnarray} f^{2}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
20.07.2015, 14:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und jetzt weiter wie vorhin.
20.07.2015, 15:03	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
dann müsste ich ja eigentlich: $\begin{eqnarray} f^{2}(v)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} yy=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (z-x-y)(z-x-y)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (z-x)(z-x)=0 \end{eqnarray}$ Dann folgt wieder $\begin{eqnarray} y=0. \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=x. \end{eqnarray*}$
20.07.2015, 15:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf diese Gleichungen?
20.07.2015, 15:20	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
naja: f(v) wird auf (y,z-x-y,z-x) abgebildet. und wenn ich das quadriere, muss ich doch die rechte Seite auch quadrieren, oder nicht?
20.07.2015, 15:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein,nein,nein. $\begin{eqnarray} f^2 \end{eqnarray}$ ist die zweimalige Hintereinanderausführung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , das was man gerne auch als $\begin{eqnarray} f\circ f \end{eqnarray}$ beschreibt. Die zugehörige Koeffizientenmatrix hast du vorhin schon richtig bestimmt.
20.07.2015, 15:48	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
aber an der Koeffizientematrix kann ich doch nur das Bild ablesen, oder übersehe ich da was?
20.07.2015, 16:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Um $\begin{eqnarray} Kern(f^2) \end{eqnarray}$ zu bestimmen, kannst du das homogene lineare GLS mit der zugehörigen Koeffizientenmatrix lösen. Oder du bestimmst die richtigen Gleichungen aus $\begin{eqnarray} A^2\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$
20.07.2015, 16:14	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
also: -x-y+z=0 -x-y+z=0 oder?
20.07.2015, 16:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt.
20.07.2015, 16:21	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist doppelt unterbestimmt. heißt ich setze x=1 und y=0 und erhalte: z=1 also (1,0,1) Ich kann aber auch y=1, x=0, z=1 nehmen also (0,1,1) und der Rest sind Vielfache: also: $\begin{eqnarray} Ker F= \left\{ \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \right\}, \end{eqnarray}$ oder?
20.07.2015, 16:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder korrekt

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