Satz von Bayes - Aufgaben

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Bayes - Aufgaben
Hallo liebes Forum,

seit einigen Tagen beschäftige ich mich nun schon mit Bayes. Obwohl ich dachte dass ich den Satz verstanden habe, musste ich feststellen dass ich keine Einzige Aufgabe lösen kann. Hier ein Beispiel:

Wir haben 3 Karten:

Erste Karte: Vorderseite schwarz, Rückseite schwarz
Zweite Karte: Vorderseite weiß, Rückseite weiß
Dritte Karte: Vorderseite schwarz, Rückseite weiß

(wobei es eigentlich keine Vorder- und Rückseite gibt, nur halt "zwei Seiten")

Man zieht jetzt eine Karte. Die Karte ist schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite der Karte auch schwarz ist?

[latex]P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} [/latex]

Ich würde jetzt sagen, dass A = "schwarz" und B = "schwarz" ist. Da das Verhältnis zwischen weiß und schwarz gleichgroß ist (3:3) haben wir eine 0.5 Wahrscheinlichkeit eine dieser Farben (also jetzt schwarz) zu ziehen.

Somit haben wir schoneinmal den Nenner P(B) = 0.5 . Meiner Vermutung nach ist P(A) = 0.5, da wir ja hier auch nach "schwarz" suchen. Also genau so wie in P(B).

Jetzt weiß ich aber schon nicht mehr wie ich P(B|A) berechnen soll.

Also meine Fragen:

1. Sind meine Thesen richtig?
2. Wie Berechne ich eigentlich P(B|A) ? Das scheint ja etwas komplizierter zu sein.

Vielen Dank !
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Bayes - Aufgaben
Zitat:
Original von goldfisch91
Man zieht jetzt eine Karte. Die Karte ist schwarz.

Schlechte Formulierung! Gemeint ist sicher: Die sichtbare Seite der gezogenen Karte ist schwarz.

Zitat:
Ich würde jetzt sagen, dass A = "schwarz" und B = "schwarz" ist.

Wieder ganz schlecht formuliert. Besser so:

A: Die nicht sichtbare Seite der gezogenen Karte ist schwarz.
B: Die sichtbare Seite der gezogenen Karte ist schwarz.

Ohne präzise Formulierungen kann man keine Aufgaben lösen. Und in der Kürze liegt nicht immer die Würze.

Was wissen wir bzw. was soll man annehmen? Es gibt 3 Karten, von denen jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Jede Karte hat 2 Seiten, von den jede wieder mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Insgesamt gibt es 6 Kartenseiten, von denen wiederum nach dem vorigen jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird.

Gehen wir die Sache erst mal mit gesundem Menschenverstand an. Die sichtbare Seite der gezogenen Karte ist schwarz. Wieviele der 6 möglichen Kartenseiten kommen dafür in Frage? In wievielen dieser Fälle ist die nicht sichtbare Seite der gezogenen Karte schwarz?

Nun machen wir dasselbe formal mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

[latex]P(A|B)= \frac {P(A \cap B)}{P(B)}[/latex]

[latex]P(A \cap B)[/latex] ist die Wahrscheinlichkeit, dass die sichtbare und die nicht sichtbare Seite der gezogenen Karte schwarz sind. Bei welchen Karten ist das möglich? Wie groß ist also diese Wahrscheinlichkeit. [latex]P(B)[/latex] ist die Wahrscheinlichkeit, dass die sichtbare Seite der gezogenen Karte schwarz ist. Wieviele der 6 Seiten kommen dafür in Frage? Wie groß ist also diese Wahrscheinlichkeit?
 
 
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe mir jetzt ein paar Gedanken zu deinem Beitrag gemacht. Wir haben also 3 Karten:
(S = Schwarz, W = Weiß)

1. S / S
2. W / W
3. S / W

- P(A): Wahrscheinlichkeit, dass die verdeckte Seite schwarz ist.
- P(B): Wahrscheinlichkeit, dass die sichtbare Seite schwarz ist.
- P(B|A): Warhscheinlichkeit, dass wenn die verdeckte Seite schwarz ist, die sichtbare Seite dann auch schwarz ist.

P(B) = 1/2 , da wir 3 Karten haben und 3 von 6 Seiten schwarz sind.
P(A) = 1/2, dito.

P(B|A) weiß ich nicht mehr weiter. Ich versteh nicht wie man das "berechnen" soll. Hat aber nur mit dieser Aufgabe zu tun. Bei anderen Aufgaben habe ich das sehr leicht an einem Baumdiagramm ablesen können. Warum geht das hier nicht?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goldfisch91
P(B|A) weiß ich nicht mehr weiter.

Das wird doch gar nicht gebraucht. Gesucht ist [latex]P(A|B)[/latex]. Die Formel, mit der das definiert ist, habe ich dir hingeschrieben. Da steht im Zähler [latex]P(A \cap B)[/latex]. Das kannst du aus den gegebene Daten direkt bestimmen. Weshalb also willst du das in [latex]P(B|A)P(A)[/latex] umschreiben? Nur weil das bei einer anderen Aufgabe hilfreich war? Hier ist es nicht hilfreich.

Also noch mal von vorn: [latex]P(A \cap B)[/latex] ist die Wahrscheinlichkeit, dass die sichtbare und die nicht sichtbare Seite der gezogenen Karte schwarz sind. Bei welchen Karten ist das möglich? Wie groß ist also diese Wahrscheinlichkeit?
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir sagen wie man darauf kommt aufeimal diese Form des Satzes zu verwenden? Wäre mal interessant zu wissen.

Zitat:
Es gibt 3 Karten, von denen jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Jede Karte hat 2 Seiten, von den jede wieder mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Insgesamt gibt es 6 Kartenseiten, von denen wiederum nach dem vorigen jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird.


Ist das nicht falsch? Wenn wir eine der Seiten sehen, kommt diese doch automatisch nicht mehr in Frage als nicht-sichtbare Seite zu erscheinen.

Also die Wahrscheinlichkeit, dass die sichtbare Seite schwarz ist ist 0.5 :

P(B) = 0.5 , wobei B die sichtbare schwarze Seite ist

Die Wahrscheinlichkeit dass die nicht-sichtbare Seite schwarz ist muss ja dann 2/5 sein, da eine Seite (undzwar die sichtbare schwarze) nicht mehr als Kandidat möglich ist.

Ich gehe mal stark davon aus dass meine Vermutung irgendwie falsch ist. Aber nach dieses Logik hätten wir dann folgendes

((2/5 * 1/2) / 1/2 ) = 2/5. Sieht nicht korrekt aus Big Laugh
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost aber mir ist eine Sache aufgefallen. Wenn eine schwarze Seite als sichtbare Seite hat, dann kann eine Karte ja komplett ausgeschlossen werden (weiß/weiß). jetzt kann es ja noch sein, dass wir die schwarz-weiß Karte haben, oder die schwarz-schwarz Karte. Es gibt nur einen Fall wo schwarz-schwarz nicht stimmt, undzwar bei der schwarz-weiß Karte. Bei der schwarz-schwarz Karte kann man allerdings "von beiden Seiten" schwarz bekommen. Somit müsste es eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 2 / 3 geben.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goldfisch91
Könntest du mir sagen wie man darauf kommt aufeimal diese Form des Satzes zu verwenden? Wäre mal interessant zu wissen.

Es gibt da kein allgemeines Rezept. Man verwendet halt immer die Formeln oder die Varianten von Formeln, die einem weiterhelfen. Wenn man mit einer Variante nicht weiter kommt, probiert man halt eine andere aus. Mit etwas Erfahrung sieht man einer Aufgabe oft an, was geht und was nicht geht.

Zitat:
Zitat:
Es gibt 3 Karten, von denen jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Jede Karte hat 2 Seiten, von den jede wieder mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Insgesamt gibt es 6 Kartenseiten, von denen wiederum nach dem vorigen jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird.


Ist das nicht falsch? Wenn wir eine der Seiten sehen, kommt diese doch automatisch nicht mehr in Frage als nicht-sichtbare Seite zu erscheinen.

Das ist zunächst mal die unbedingte Wahrscheinlichkeit für jede der 6 Seiten als sichtbare oder als nicht sichtbare Seite beim Ziehen einer Karte zu erscheinen. Wenn man zusätzlich etwas weiß, dann ändern sich natürlich die Wahrscheinlichkeiten, weil man dann eine bedingte Wahrscheinlichkeit hat. Darum geht es doch gerade in dieser Aufgabe. Die Wahrscheinlichkeit, dass die nicht sichtbare Seite einer gezogenen Karte schwarz ist, ist 1/2, solange man sonst nichts weiß. Hat man sich die Vorderseite angesehen und weiß, dass diese schwarz ist, so ändert sich die Wahrscheinlichkeit für die Rückseite. Diese geänderte Wahrscheinlichkeit soll man ausrechnen.

Du machst dir dauernd neue Gedanken, ohne auf die Frage einzugehen, die ich dir jetzt schon zweimal gestellt habe. Also denke ich, dass es zwecklos ist dich noch mal zu fragen und gebe die Anwort selber.

Man zieht eine Karte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind deren beide Seiten schwarz? Das ist bei Karte 1 der Fall, bei den Karten 2 und 3 nicht. Da jede Karte mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür 1/3. Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit [latex]P(A \cap B)[/latex] für den Zähler. Zusammen mit [latex]P(B)=1/2[/latex] ergibt das

[latex]P(A|B)= \frac {2}{3}[/latex]

Edit: Deinen letzten Post hatte ich gar nicht registriert. So bist du doch noch zur richtigen Lösung gekommen.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde das sehr verwirrend. Wenn folgendes gilt
P(B) = 1/2 und P (A) = 1/2, ist dann P(A und B) dann nicht P(A) * P(B) und somit dann 1/4 ?

EDIT: schon gut P(A) ist ja nicht gleich 1/2
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, auch [latex]P(A)[/latex] ist [latex]1/2[/latex]. Aber A und B sind keine unabhängigen Zufallsereignisse. Man kann ja nicht die sichtbare und die nicht sichtbare Seite einer Karte separat ziehen. Die sind gekoppelt. Man zieht hat eine Karte und dann liegen die beiden Seite fest. Offen ist nur, welche sichtbar ist und welche nicht. Und

[latex]P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)[/latex]

gilt nur für unabhängige Ereignisse.
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