Normalverteilung auf Werte anwenden?

22.07.2015, 17:32

rsd212

Normalverteilung auf Werte anwenden?

Meine Frage:
Ich habe $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ einer Normalverteilung. Nun möchte ich z.B. 100 Werte so anpassen dass sie der Normalverteilung entsprechen.

Wie geht man da vor?

Vielen Dank!

Meine Ideen:
.

22.07.2015, 20:21

melianarana

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normalverteilung auf Werte anwenden?
Allgemein kannst du eine normalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ normieren, indem du $\begin{eqnarray*} Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ rechnest. Werte, die bzgl X verteilt sind kannst du also genausogut in die Formel einsetzen, um Standardnormalverteilte Werte zu bekommen.

23.07.2015, 07:45

rsd212

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich also Standardnormalverteilte Werte habe kann ich diese in jede beliebige Normalverteilung überführen.
Wie generiert man nun aber zufällige Standardnormalverteilte Werte?

23.07.2015, 08:16

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rsd212
Wenn ich also Standardnormalverteilte Werte habe kann ich diese in jede beliebige Normalverteilung überführen.

Ja und zwar sehr leicht. Seien $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ standardnormalverteilte Zufallszahlen. Dann ergibt:

$\begin{eqnarray*} z_i=\mu+\sigma x_i \end{eqnarray*}$

normalverteilte Werte mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie generiert man nun aber zufällige Standardnormalverteilte Werte?

Da gibt es diverse Methoden. Es kommt darauf an, welche Hilfsmittel dir zur Verfügung stehen. Die folgenden 3 Methoden setzen zunächst mal voraus, dass du im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ gleichverteilte Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ erzeugen kann.

(1) Dein Rechner kennt die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung. Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} z_i=\Phi^{-1}(x_i) \end{eqnarray*}$

standardnormalverteilte Zufallsgrößen.

(2) Dein Rechner kennt die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung nicht. Implementiere sie durch eine rationale Approximation.

(3) Erzeuge Paare $\begin{eqnarray*} (x_i, y_i) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ gleichverteilter Zufallszahlen. Dann ergibt:

$\begin{eqnarray*} z_i=\sqrt {-2 \ln x_i} \cos (2 \pi y_i) \end{eqnarray*}$

standardnormalverteilte Zufallsgrößen.

Bemerkung: Exakt gesprochen sind das alles keine Zufallszahlen, sondern Pseudozufallszahlen.

23.07.2015, 19:19

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
... Dann ergibt:

$\begin{eqnarray*} z_i=\mu+\sigma x_i \end{eqnarray*}$

normalverteilte Werte mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .
...

Sind hier nicht x und z zu vertauschen?

mY+

23.07.2015, 19:30

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wieso?

23.07.2015, 23:51

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen des Zusammenhanges

$\begin{eqnarray*} z = \frac{x- \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

24.07.2015, 02:34

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

zufällig ein etwas unglückliches Zusammentreffen. Praktisch wurden die "üblichen"
Bezeichner vertauscht. Aber eindeutig steht bei Huggy :

"sei X eine Standardnormalverteilte Zufallsgröße"

ja, und dann ist eben Z die normalverteilte Zufallsgröße.

24.07.2015, 08:08

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos
Ich nehme an, dass sich durch die Antwort von Dopap deine Frage erledigt hat.

24.07.2015, 13:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hat es.
Ich dachte schon, ich hab' das Ganze falsch gelernt.
-----
Weder in der Schule, noch an der Uni wurde mir ein derartiger Stoff vermittelt (ich habe immerhin Lehramt in Mathe, Physik/Chemie gemacht), so musste ich mir diese Dinge alle autodidakt zulegen.
Ich hoffe, ihr könnt mir meine manchmal (auf diesem Gebiet) naiven Fragen nachsehen.

mY+

24.07.2015, 13:35

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen Grund, sich zu entschuldigen.

Einerseits sind zwar die Namen/Benennungen von Größen Schall und Rauch, anderseits gibt es nicht umsonst gewisse Konventionen dafür. Man versteht so schneller die Bedeutung einer Gleichung, ohne erst den gesamten Text davor lesen zu müssen. Unglücklicherweise habe ich bei diesem Thread eine recht übliche Bezeichnungsweise gerade umgekehrt. Da ist es kein Wunder, wenn sich Missverständnisse ergeben. Das ist mir selbst ganz ähnlich x-mal passiert.

24.07.2015, 14:18

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
3) Erzeuge Paare $\begin{eqnarray*} (x_i, y_i) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ gleichverteilter Zufallszahlen. Dann ergibt:

$\begin{eqnarray*} z_i=\sqrt {-2 \ln x_i} \cos (2 \pi y_i) \end{eqnarray*}$

standardnormalverteilte Zufallsgrößen.

hier "stimmt" $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ wieder Augenzwinkern

Frage: kannst du evtl. einen Hinweis geben, wie Obiges zustandekommt ??

24.07.2015, 16:16

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe z. B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Box-Muller-Methode

Neue Frage »

Antworten »

Normalverteilung auf Werte anwenden?

Verwandte Themen