Mengenlehre (transitiv, reflexiv, symmetrisch)

22.07.2015, 21:39

Chriszo111

Mengenlehre (transitiv, reflexiv, symmetrisch)

Meine Frage:

$\begin{eqnarray*} A = { a, b, c, d, e } \end{eqnarray*}$
Ich habe folgende Menge gegeben, und muss diese nun symmetrisch und transitiv aber nicht reflexiv angeben:

$\begin{eqnarray*} R \subseteq A \times A = { (a,a), (a,b), (b,c), (c,b), (c,c), (d,d), (d,e), (d,a) } \end{eqnarray*}$

(Die Aufgabenstellung lautet: "Geben Sie eine Relation auf der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an, die nicht reflexiv aber symmetrisch und transitiv ist)

Meine Ideen:
Die Aufgabenstellung sagt "Geben Sie eine Relation auf der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an", darunter verstehe ich

$\begin{eqnarray*} R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)} \end{eqnarray*}$

Es steht "eine Relation", keine spezifische (also muss nicht alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten, da $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ja eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist)

.. und ist es möglich, dass wenn eine Relation reflexiv ist, ich automatisch auch eine transitive Relation habe?

Viele Grüße

22.07.2015, 22:15

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RE: Mengenlehre (transitiv, reflexiv, symmetrisch)

Zitat:

Ich habe folgende Menge gegeben, und muss diese nun symmetrisch und transitiv aber nicht reflexiv angeben:

Was meinst du damit? Ist die Menge jetzt gegeben oder nicht?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R \subseteq A \times A = { (a,a), (a,b), (b,c), (c,b), (c,c), (d,d), (d,e), (d,a) } \end{eqnarray*}$

hier ist das Gleichheitszeichen falsch.

Zitat:

.. und ist es möglich, dass wenn eine Relation reflexiv ist, ich automatisch auch eine transitive Relation habe?

Es gibt reflexive, nicht transitive Relationen.

22.07.2015, 23:48

Chriszo111

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Ah entschuldige, hab mich vertippt (zuviel Mathe heute), meinte wenn eine Relation symmetrisch ist, ist sie dann automatisch auch transitiv?

Sprich, wenn ich alle Elemente der Menge A symmetrisch aufzähle, ob dann die transitivität automatisch auch gegeben ist

Gegeben war
$\begin{eqnarray*} R \subseteq A \times A = { (a,a), (a,b), (b,c), (c,b), (c,c), (d,d), (d,e), (d,a) } \end{eqnarray*}$

23.07.2015, 00:07

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Ich kann dir noch immer nicht folgen unglücklich

Klar ist: Eine symmetrische Relation ist nicht automatisch transitiv.

Zitat:

Sprich, wenn ich alle Elemente der Menge A symmetrisch aufzähle, ob dann die transitivität automatisch auch gegeben ist

Wenn du alle möglichen Paare(!) aufzählst - und so verstehe ich deine Aussage - ist die Relation natürlich symmetrisch und transitiv.

Das Gleichheitszeichen ist noch immer falsch. Für $\begin{eqnarray*} A = \{ a, b, c, d, e \} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} A\times A \end{eqnarray*}$ 25 Elemente. Was also willst du mir sagen?

Du sollst nach Aufgabenstellung eine Relation mit speziellen Eigenschaften angeben - aber welche Rolle soll das gegebene R dabei spielen?

23.07.2015, 00:13

Chriszo111

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Die Aufgabe lautet ja, ich soll eine Relation angeben, die symmetrisch und transitiv ist. Also war meine Frage, ob nach der Aufgabenstellung meine Angabe

$\begin{eqnarray*} R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)} \end{eqnarray*}$

die gesuchte Relation der Aufgabe

Geben Sie eine Relation auf der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an, die nicht reflexiv aber symmetrisch und transitiv ist

ist, oder ob ich alle { ... (a, d), (d, a), (a, e), (e, a) ... } weiteren auch angeben muss.

Da ich keine Musterlösung habe, kann ich leider nicht vergleichen ob das gewollt ist.

Also wenn ich hier mit R dementsprechend alle symmetrischen Elemente aufzähle, ohne die reflexiven, ist diese dann auch transitiv (das war die Frage).

23.07.2015, 00:38

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Aaaah, jetzt versteha, das R ist dein Lösungsversuch.
Dein R ist symmetrisch, du brauchst nicht alle möglichen Paare anzugeben.
Dein R ist aber nicht transitiv, weil z.B. (a,a) fehlt.

Zitat:

Also wenn ich hier mit R dementsprechend alle symmetrischen Elemente aufzähle, ohne die reflexiven, ist diese dann auch transitiv (das war die Frage).

Dann wäre $\begin{eqnarray*} (a,b), (b,a)\in R \end{eqnarray*}$ und wegen der Transitivität kommt automatisch auch das (reflexive) $\begin{eqnarray*} (a,a) \end{eqnarray*}$ dazu. Du kannst diese Elemente dann gar nicht ausschließen.

Reflexivität von R bedeutet ja $\begin{eqnarray*} (x,x)\in R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Es darf also durchaus z.B. $\begin{eqnarray*} (a,a)\in R \end{eqnarray*}$ sein, aber eben nicht alle Paare der Form (x,x)

Ich würde an deiner Stelle nach einer kleineren Menge R suchen.

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