Komposition riemannintegrierbar, komplex |
26.07.2015, 12:00 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Komposition riemannintegrierbar, komplex Seien mit . Eine komplexwertige Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn sowohl als auch Riemann-integeriebar sind, und man setzt: Man zeige: Ist Riemann-integrierbar, so ist auch Riemann-integrierbar. Hallo Für den Fall, dass f stetig ist als Komposition von den stetign Funktionen, f, stetig und somit riemannnintegrierbar. sind nach Vorlesung riemannintegrierbar ihre Summe ebenfalls. Wir hatten in der Übung das beispiel: ist eine riemann-integrierbare Funktion mit und ist stetig differenzierbar so ist Riemannintegrierbar. Hier wäre aber nur stetig (bzw. definiert) auf also kann ich das Beispiel nicht verwenden. Ich brauche also einen Beweis für die allgemeine Aussage: riemannintegegrierbar und so gilt für jedes stetige das die Komposition Riemannintegrierbar ist. Kann man die Aussage ohne Lebesguesches Integrabilitätskriterium lösen? (Denn das hatten wir noch nicht zum Zeitpunkt der Aufgabe)) Würde mich sehr über Hilfe freuen! |
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26.07.2015, 17:14 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, verwende zum Beispiel, das Kriterium, dass eine Funktion genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es zu jedem eine Zerlegung von gibt, so dass . Dies soll jetzt für gezeigt werden und steht für zur Verfügung ( wie bei dir oben). Ich gebe dir noch einen Schubs: Sei also gegeben. Da stetig ist, ist sogar gleichmäßig stetig auf dem Kompakten Intervall . Sei eine obere Schranke an . Wähle zu ein , so dass falls . Du kannst o.B.d.A annehmen, dass gilt. Wähle jetzt eine Partition von , so dass . Du kannst dabei annehmen, dass die Intervallbreite der Teilintervalle in konstant ist. Das vereinfacht die Sache. Versuche jetzt abzuschätzen. |
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27.07.2015, 09:13 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Gruppi, Danke für die vielen Tipps. Ich habe es etwas anders gemacht, würde mich freuen wenn du mal drüber schaust:
Muss du nicht eher wählen? Da folgt mit So ist LG, MaGi |
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27.07.2015, 12:32 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man möchte, dass am Ende genau herauskommt, müsste man glaube ich sogar wählen und zusätzlich glaube ich auch das zur glm. Stetigkeit stattdessen zu . So kommt ein Vielfaches von heraus, das aber nur von Konstanten abhängig ist. Das ist nicht weiter tragisch. Es stimmt aber schon, dass es etwas willkürlich ist, dass ich trotzdem durch teilen wollte Zu deinem Beweis: Ich sehe nicht, wieso aus folgt, dass: Der mittlere Teil der Abschätzung ist klar, die äußeren Teile bekommst du mMn. nicht. Wo hast du diese Aussage her? Sieh dir dafür zum Beispiel die thomaesche Funktion an. Sie ist Riemann-intergierbar, aber jede Treppenfunktion, die Unterhalb von ihr liegt, ist überall kleiner/gleich 0. Damit wird aber für kleines unmöglich. Wenn man für Treppenfunktionen nicht-entartete Invervalle verlangt, würde als Gegenbeispiel auch die charakteristische Funktion von betrachtet auf dem Intervall ausreichen. |
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27.07.2015, 15:52 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe deine Einwende und sehe den Fehler. Ja wir verlangen schon nicht entartete Intervalle bei der Treppenfunktion, hab nochmal in der Definition nachgeschaut.. Ich habe gedacht, man kriegt die Wahl der Treppenfunktionen so hin, wenn man die Intervalle nur kleiner macht, aber, dass die Intervalllänge ja nicht nur 1 Punkt betragen kann hab ich vergessen. Hier in Beitrag No.5 wird es aber auch so ähnlich gemacht oder?: Matheplanet: Thema: Riemann-Integrierbarkeit einer Komposition Ist das dann ein Fehler oder ist das in dem Beispiel richtig? (Würde mich jetzt sehr interessieren, da es ja eine ähnliche Aufgabe ist) Also funktioniert das Beispiel mit dieser Definition von Riemannintegrierbar nicht? LG, MaGi |
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27.07.2015, 16:07 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann nicht hellsehen, welchen Beitrag du meinst Edit: Ok, habe es durch googlen gefunden. Ja, wenn man die Definition zugrunde legt, dass die Intervalle nicht entartet sein dürfen, dann geht es so nicht.
Welches Beispiel soll nicht funktionieren? Der Satz ist natürlich trotzdem richtig, nur dein Beweis ist falsch. |
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28.07.2015, 08:54 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Danke, also ist der Beweis "nur" falsch, weil ich keine entarteten Intervalle zulasse bei den Treppenfunktionen. Sei eine äquidistante Zerlegung. (*) Hier verwende ich im dritten Schritt für jedes Intervall gilt Nun benutze ich die Stetigkeit von : (*)= Aber habe ich nun nicht das selbe Problem, wie vorhin? Ich müsste doch um die glm stetigkeit von g anzuwenden das intervall wählen. Aber wenn zwischen meinen Zerlegungspunkten eine Unstetigkeitsstelle ist, geht das ja gar nicht... Kannst du mir da vlt nochmals helfen? LG, MaGi |
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28.07.2015, 10:44 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Noch ein weiterer Tipp: Teile die Menge in zwei Teilmengen auf. In der einen liegen jene sodass der Abstand zwischen sup und inf von g auf dem Intervall der Zerlegung nur Abstand hat und noch den Rest. In der einen Teilmenge hast du das beschriebene Problem nicht. Zeige jetzt, dass aus der Voraussetzung an die Zerlegung folgt, dass die andere Teilmenge nicht beliebig groß werden kann und schätze damit weiter ab. |
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28.07.2015, 16:10 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Danke, ich hoffe du meintest es so:
Wobei ich diese Menge K nenne und den Rest. Zerlegung ist so gewählt, dass D.h.: Da wir eine äquistante Zerlegung haben: Insbesondere ist Also Insgesamt: Ich wusste nicht wie ich das besser anschreiben soll, dass ich bei der Summe, dass wählen so dass der Abstand am größten ist.. \Box |
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28.07.2015, 16:45 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich blicke bei deinen ganzen Bezeichnungen nicht mehr so ganz durch. Aber beachte, dass beschränkt ist, und und in deiner Endabschätzung. Edit: Oder wusstest du schon, dass du damit fertig bist? (Das konnte ich nicht so gut einschätzen.) |
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29.07.2015, 09:24 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bezeichnungen: Hilft es dir es zu krontrollieren wenn ich alles nochmal anschreibe? 1) Da stetig auf gleichmäßig stetig. Sei beliebig aber fest für 2) Riemannintegerierbar genau dann wenn Zerlegung von Sei eine äquistante Zerlegung mit (*) Bezeichne Es gilt analog mit Inf in andere Ungleichungsrichtung. (*) Nutze nun die Stetigkeit von und das stetige Funktionen ihr sup, Inf annehmen: mit Zerlege nun Menge in : Abschätzung von |J|: Aus folgt Da äquidistante Zerlegung: Insbesondere ist Also Weiter mit der Abschätzung in 2) Wähle nun So ist ist als stetige Funktion beschränkt: Daher mit Wobei ich wähle. |
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29.07.2015, 13:02 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Beweis ist so vollkommen korrekt. Das mit dem sollte aber direkt nach der Wahl von stehen. Das macht es übersichtlicher, denn so muss man noch einmal überprüfen, ob diese Neuwahl von zulässig ist. (Sie wäre es z.B. nicht, wenn von abhängt.) |
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29.07.2015, 15:44 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das freut mich, ich hätte noch eine Frage. Ich hoffe es ist in Ordnung wenn ich sie in dem Thread noch stelle, da sie das Thema unmittelbar behandelt. In einem Buch hab ich gelesen, dass die Umkehrung nicht gelten muss, also die innere Funktion stetig ist und die äußere Funktion Riemannintegrierbar ist - dann muss die Komposition nicht zwingend Riemann integrierbar sein. Wenn ich also die Voraussetzungen habe: stetig, Riemann integrierbar. Zu suchen ein Gegenbeispiel so dass nicht Riemannintegrierbar. Die Funktion die mir einfällt, die nicht Riemannintegrierbar ist, ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen. ist z.B mit nur einer Unstetigkeitstselle Riemann-integrierbar Wähle ich aber z.B Jedoch ist g nur in den irrationalen Punkten stetig und in den rationalen unstetig. Demnach kein Gegenbeispiel. Hättest du vlt einen Tipp für die Wahl von einen stetigen g? Danke! Liebe Grüße |
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29.07.2015, 18:01 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dazu hätte ich folgende Idee. Sei eine Abzählung der rationalen Zahlen in . Betrachte die Menge . Das Lebesguemaß von ist mindestens , insbesondere positiv. Außerdem ist kompakt. Betrachte nun die Funktion . Solche Abstandsfunktionen sind immer stetig. Jetzt nimm dir als charakteristische Funktion des Nullpunktes. Dann ist Riemann-integrierbar. Da kompakt ist, gilt , falls . Also ist die charakteristische Funktion von . Diese ist aber nicht Riemann-integrierbar, weil die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen keine Lebesguenullmenge ist, diese ist nämlich genau selbst, weil das offene Innere von nach Konstruktion leer ist. |
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29.07.2015, 20:59 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die Antwort. Ist doch schon um einiges komplizierter ein Gegenbeispiel zu finden als ich dachte. Alleine kommt man da ja nicht drauf..Ich zumindest nicht;O Ich hätte da noch paar Fragen, wenn du Zeit findest:
Warum folgt das erst aus der Kompaktheit von A? Gilt das nicht für jede Menge?
Was hat die Aussage, dass A=Menge der Unstetigkeitsstellen(f) ist damit zu tun, dass ist? Liebe Grüße, MaGi |
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29.07.2015, 21:21 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, der Abstand von zu ist beispielweise . Wäre das so, wie du sagst, könnte man wählen und erhielte die charakteristische Funktion von . Allerdings ist für alle , deswegen geht es nicht.
Nun, das kannst du selbst zeigen Allgemein kannst du zeigen: Wenn ein topologischer Raum ist und , so ist genau dann stetig in , wenn ein innerer Punkt von ist bzw. stetig in , wenn ein innerer Punkt von . Wenn du nicht weißt, was ein topolischer Raum ist, kannst du für ruhig erstmal nehmen.
Wäre ich vermutlich auch nicht, als gerade angefangen habe, mich mit solchen Themen zu befassen. Mit etwas mehr Erfahrung kommt sowas dann, keine Sorge |
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30.07.2015, 17:25 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das erste Problem ist somit für mich klar. Bew.: offen: Das zweite denke ich auch:
stetig als konstante 1 Funktion stetig als konstante 0 Funktion sei nach Voraussetzung stetig in allen Wenn es sich um einen Randpunkt von A handelt () haben wir eine Sprungstelle, denn in jeder Umgebung eines Randpunktes gibt es Punkte aus A und aus dem Komplement. Sei so gibt es Also folgt Analog mit dem Komplement. Aus dem zweiten Teil folgt also jetzt, dass unstetig in A ist und stetig in ist. Jetzt muss ich mir das nur noch das mit dem Maß in Ruhe anschauen warum A keine Nullmenge ist...Meld mich gegebenfalls wieder |
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30.07.2015, 18:00 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich nehme an, du verwendest einen Satz, der besagt, dass eine Funktion in einem Punkt genau dann stetig ist, wenn es eine Umgebung um diesen Punkt gibt, wo die Funktion stetig ist und damit erledigst du den ersten Teil? Das solltest du am besten dazusagen. Die Rückrichtung sieht irgendwie komisch aus. Das ist nicht die richtige Voraussetzung, die du da verwendest. Eigentlich wäre hier zu zeigen: Sei stetig in , dann ist ein innerer Punkt von oder . Das tust du auch irgendwie, aber aufgeschrieben ist es merkwürdig. |
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