Rekonstruktion gebr. rationale Fkt

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Rekonstruktion gebr. rationale Fkt
Hallo,
bei folgender Aufgabe benötige ich mal die Hilfe des Forums!




Da die Polstelle x = -2 vorliegt, muss der der Nenner folgende Form haben:


Da die Asymptote ein Polynom 2. Grades ist, muss der Zähle mindestens ein Polynom 3. Grades sein.

Weiterhin kann man eine gebr. rationale Funktion in Asymptote + Rest aufspalten:


So weit so gut, nun habe ich die Punkte nach und nach eingesetzt um a und b rauszubekommen.
Und da tritt ein Problem auf.



auch noch ok.



Sollte das stimmen, so müsste die Lösung lauten, was sie aber definitiv nicht tut.

Wo habe ich einen Fehler gemacht?
Danke im Voraus!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler dürfte in der Angabe liegen. Der Punkt P2(1|0) oder die Gleichung der Asymptotenkurve ist entsprechend abzuändern, denn der Punkt liegt sowohl auf der Kurve als auch auf deren Asymptote.
Dies ist bei einer Asymptotenkurve jedoch nicht der Fall.

Aber auch dann führt die Berechnung von a und b im Allgemeinen auf ein homogenes lineares Gleichungssystem mit der Lösung (a; b) = (0; 0).
Allerdings irrst du, wenn du meinst, dass dann Null ist, denn wenn im Zähler UND Nenner 0 steht, ist der Ausdruck unbestimmt.

Du solltest also die Angaben nochmals überprüfen bzw. diese hinterfragen. Was soll übrigens die Lösung sein? Wenn diese bekannt ist, könnte man das Problem "von hinten" angehen Big Laugh

mY+
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Die Funktion schneidet die Asymptote in beiden genannten Punkten, nähert sich ihr jedoch im unendlichen jeweils nur an und schneidet nicht noch einmal.

Das mit dem unbestimmten Ausdruck ist mir dann auch aufgefallen, wollte allerdings nivht gleich nochmal hier posten. Big Laugh

Hier die Aufgabe mit geg. Graphen - allerdings habe ich keine Lösung dazu.

[attach]38817[/attach]
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den Hinweis in der Aufgabe bisher noch gar nicht benutzt.
Ich habe es gerade kurz ausprobiert, damit geht es eigentlich ziemlich schnell und problemlos.
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Weil ich ihn ehrlich gesagt nicht wirklich verstehe / interpretieren kann. Forum Kloppe
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Hier unterstellst du ja, dass die Vielfachheit der Polstelle 1 ist.
Mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung folgt z.B.



Kannst du das nun mit "...muss Letzterer zwei Nullstellen haben, was auf Zähler- und Nennergrad schließen lässt" in Einklang bringen ?
 
 
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Demnach sollte der Zählergrad = 5 sein und der Nennergrad = 3?

Habe es damit auch mal versucht und komme auf folgendes Ergebnis.





Passt das so? Und darf ich den Schritt mit c = 0 entfällt gehen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion hatte ich auch raus und das passt auch wunderbar zum Aufgabentext (siehe Skizze unten).

Deine Umformungen bei (2) sind überflüssig und gegen Ende unterschlägst du auch was, denn es folgt direkt aus der ersten Gleichung c=0 oder a=1 oder b=1.
Der Fall c=0 ist schon an dieser Stelle auszuschließen, denn sonst wären wir ja direkt unseren ganzen (echt) gebrochen rationalen Anteil los.
Insofern könnten wir eigentlich allein aus diesem Grund auch schon oben direkt ergänzen:

Zitat:


Damit alles klar ?
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Alles klar, dankeschön.

Mit der rekonstruktion von gebrochen rationalen Funktionen werde ich in Zukunft wohl noch häufiger mal "nerven", da hab ich derzeit so meine Probleme.
wopi Auf diesen Beitrag antworten »

Warum postest du die genaue Aufgabenstellung nicht sofort?

Aus deinen Anfangsangaben geht nicht einmal hervor, dass x=-2 die einzige Polstelle ist!

Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist doch jetzt am Ende, wo alles geklärt ist, eigentlich völlig egal, oder ?

Wenn ich raten sollte, dann dachte der Fragesteller evtl, dass er nur irgendwo einen Umformungsfehler oder dergleichen gemacht hat.
Mit der Eindeutigkeit der Polstelle hatte ich zudem eigentlich keine Verständnisprobleme.

Nun noch mal zur Ergänzung bzw. gedanklichen Weiterführung der Aufgabe:

Auch ohne den Hinweis in der Aufgabe, kann man leicht zur Lösung kommen.
Greifen wir nochmal deinen ersten Ansatz auf und fragen uns nochmal, warum das denn wohl nicht klappt:



Formen wir das vielleicht nochmal ein wenig um zu



denn letztendlich ist a/b hier ein konstanter Faktor, für den man nicht zwingend zwei Unbekannte ins Spiel bringen muss.

Das bedeutet nun aber, dass wir es hinbekommen müssen, mit nur einer Unbekannten gleich drei weitere Bedingungen (Punkte) zu verwerten.
Dass das eher nichts wird, kann man sich vielleicht vorstellen, ansonsten scheitert es ja bereits an f(1)=0, wodurch dieser Ansatz hinfällig wird.
Nun müssen wir etwas mehr Power reinbringen (kleiner Scherz: Power=Potenz), soll heißen, wir müssen noch etwas am Zähler- und Nennergrad schrauben.
Nun nur einen Grad im Nenner höher zu gehen (gerader Nennergrad), wäre hier nicht möglich - klar warum ?
Stocken wir also auf zu (x+2)³, wodurch wir dann im Zähler auch etwas aufstocken dürfen - Hauptsache der Grad im Zähler bleibt aus echt gebrochenrationalen Gründen kleiner als 3.
Auf gehts, dann machen wir den Zähler linear mit ax+b und fügen noch einen variablen Faktor im Nenner dazu, um auf unsere 3 Unbekannten für 3 Gleichungen zu kommen:



Wird jedoch leider wieder nichts, denn auch das kann man im Endeffekt wieder auf die Form bringen.
Wenn man das nicht sieht, wird man durch einsetzen der 3 Punkte wieder auf sowas wie a=b=0 kommen, wodurch ein Widerspruch zur "Gebrochenrationalität" entsteht.

Eine Chance haben wir ja noch, damit der Zählergrad nicht größer oder gleich 3 wird.
Damit wären wir beim quadratischen Zählerterm angelangt.
Wenn man nicht auf den Ansatz mit der bereits faktorisierten Form kommt, dann würde natürlich auch sowas wie zum Ziel führen.

Abschließend sei auch erwähnt, dass wir theoretisch auch noch höher in den Graden gehen dürften.
Z.B. würde ja auch nichts dagegen sprechen, im Nenner auch noch den Faktor (x²+1) ins Spiel zu bringen, denn das ändert ja nichts dran, dass x=-2 die einzige (reelle) Polstelle bleibt.
Insofern ist die Aufgabe selbstverständlich auch nicht eindeutig lösbar - nur warum mehr Arbeit machen, als notwendig, es interessiert ja in der Regel nur eine mögliche, passende Funktion. Augenzwinkern

Vielleicht hilft dir das ja etwas bei der Herangehensweise ähnlicher Aufgaben, von denen du ja in deinem letzten Beitrag gesprochen hattest. Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
...
Auch ohne den Hinweis in der Aufgabe, kann man leicht zur Lösung kommen.
...

Na ja, bezüglich "leicht" kann man da unterschiedlicher Meinung sein. Das ist auch daran zu erkennen, dass es bis zur ersten Antwort eine ganz schön lange Zeit gedauert hat.
Der Thread zeigt aber auch den immer wieder gemachten Fehler der Fragesteller, die Aufgabe unvollständig zu posten.
Wären gleich alle Informationen (und die Skizze) gegeben worden, hätte man sich (--> ich mir) einige Raterei ersparen können.
Dass die Asymptotenkurve den Graphen der Funktion auch schneiden kann, ist bei bestimmter Sachlage natürlich möglich, vorerst war allerdings zunächst von u.s. Skizzierung (ohne Schnittpunkte) auszugehen:

[attach]38824[/attach]

Diese hat allerdings keine Lösung, wie wir in der Folge gesehen haben.

mY+
toptoptop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich bin's nochmal.

Wollte mich nur nochmal bei euch bedanken! Das hat mir tatsächlich sehr weitergeholfen.
Besonders auch an Bjoern1982, mit der vorgeschlagenen Herangehensweise.

Ich werde in Zukunft gleich zu Beginn die komplette Aufgabenstellung posten um Verwirrung und Rumraterei zu vermeiden. Dachte anfangs tatsächlich, dass ich mich lediglich irgendwo kurz verrechnet habe und nicht, dass ich die Aufgabe komplett falsch angegangen bin.
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