DGL Grenzwert berechnen

26.07.2015, 18:57

ENDY90

DGL Grenzwert berechnen

Meine Frage:
An welchen Wert nähert sich y an, dh. welher Grenzwert tritt für t gegen unendlich auf? Betrachten sie homogene und nicht-homogene DGL getrennt.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} =a(t)y \end{eqnarray*}$ homogen

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} =a(t)y+b(t) \end{eqnarray*}$ nicht-homogen

für a und b constant, und y(t=0)=y0

Meine Ideen:
1) $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} =a(t)y \end{eqnarray*}$ , diese "a(t)" denke ich kann man einfach als "a" schreiben.
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} =ay \end{eqnarray*}$ die Lösung $\begin{eqnarray*} yt=yo\cdot e^{a\cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } yo\cdot e^{a\cdot t} \end{eqnarray*}$ => + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

also andwort für 1) ist: y nähert sich gegen + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ an

2) das weiß ich jetzt nicht, aber wahrscheinlich auch + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

26.07.2015, 19:42

Guppi12

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Geschlossen wegen Crossposting.

Sieh dir dahingehend doch bitte unser Boardprinzip an.

Edit: Noch einmal geöffnet. Die Hilfe im anderen Board ist bei näherem Blick nicht so toll. Dennoch wäre es schön, wenn du im anderen Board Bescheid sagst, dass du jetzt woanders Hilfe suchst, damit sich dort niemand umsonst noch Mühe macht.

26.07.2015, 21:09

Guppi12

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Dem Bild nach zu urteilen, das du gepostet hast, sollen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ tatsächlich konstant sein und deine Lösung für die homogene Gleichung ist auch richtig. Du müsstest aber hier noch die Fälle unterscheiden, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ größer/kleiner/gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das gleiche für $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ .Deine Antwort ist richtig z.B. für den Fall $\begin{eqnarray*} a>0,y_0>0 \end{eqnarray*}$ .

Für den inhomogenen Fall ist die Lösung ja auch bereits angegeben. Was passiert dort, wenn du $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nach unendlich schickst.

27.07.2015, 18:23

ENDY90

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DAnke dir.

Also du meinst für die inhomogene DGL ist + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auch richtig?

und wie lautet die Lösung.... $\begin{eqnarray*} yt=yo\cdot e^{a\cdot t}\cdot e^{b\cdot t} \end{eqnarray*}$ ?

27.07.2015, 18:27

Guppi12

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Zitat:

Also du meinst für die inhomogene DGL ist + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auch richtig?

Nein, auch dort musst du ein paar Fälle unterscheiden.

Zitat:

und wie lautet die Lösung.... $\begin{eqnarray*} yt=yo\cdot e^{a\cdot t}\cdot e^{b\cdot t} \end{eqnarray*}$ ?

Du hattest doch in dem anderen Board ein Bild mit der Aufgabenstellung gepostet. Es wäre hilfreich, wenn du das hier auch tust. Dort war auch die Lösung für die inhomogene Gleichung angegeben, so wie oben lautete sie nicht.

27.07.2015, 19:45

ENDY90

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ah ja, die Gl-3 ist analztische lösung für Gl.2.

29.07.2015, 19:10

ENDY90

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also für homogene Gl. gibt es 9 Fälle insgesamt?

wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \begin{pmatrix} y_0>0 & \Rightarrow y=y_0 \\ y_0=0 & \Rightarrow y=0 \\ y_0<0 & \Rightarrow y=y_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a<0 \begin{pmatrix} y_0>0 & \Rightarrow y=UnendlichKlein, AberNichtNull(-) \\ y_0=0 & \Rightarrow y=0 \\ y_0<0 & \Rightarrow y=UnendlichKlein, AberNichtNull(+) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a>0 \begin{pmatrix} y_0>0 & \Rightarrow y=- \infty \\ y_0=0 & \Rightarrow y=0 \\ y_0<0 & \Rightarrow y=+ \infty \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

PS.
wie schreibt man "unendlich klein, aber nicht null"?

29.07.2015, 19:24

Guppi12

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Hallo, den Fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ kannst du zu einem Fall zusammenfassen, es gilt ja schließlich immer $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty}y(t) = y_0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

PS. wie schreibt man "unendlich klein, aber nicht null"?

So etwas gibt es nicht. Dementsprechend ist auch deine Lösung falsch, der Grenzwert ist im Fall $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie bist du im Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ auf deine Lösung gekommen? Speziell: warum vertauschen sich genau die Vorzeichen?

(Vom Aufschrieb her ist es so auch noch nicht in Ordnung, verwende die Schreibweise mit $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ .)

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