Jordan-Zerlegung & Projektionsoperatoren

28.07.2015, 18:09

Helios7

Jordan-Zerlegung & Projektionsoperatoren

Hallo Liebe Mathefreude,
Sitze schon fast 3 Stunden an der folgenden Aufgabe ohne Erfolg. Benötige dringend Eure Hilfe!!!

Gegeben Sei:
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 3 & -12 & 11 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 5 & -4 \end{pmatrix} \in M(3 \times 3, \mathbb R ) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^{3} \rightarrow R^{3} , x \mapsto Ax \end{eqnarray*}$

(a) Bestimmen Sie die Projektionsoperatoren Pi auf die Hauptraüme.
(b) Bestimmen Sie die Jordan-Zerlegung von F, d.h. finden Sie kommutative Endomorphismen G,H, so dass F=G+H, wobei G diagonalisierbar und H nilpotent ist.

Bis jetzt habe ich das charakteristische Polynom der Matrix bestimmt.
$\begin{eqnarray*} P_{A}(t) = -(t-2)^{2}(t+2) \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung hat also die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = -2 \end{eqnarray*}$ .
Wie finde ich nun die Projektionsoperatoren auf die Haupträume?

Danke im Voraus!

28.07.2015, 18:49

Captain Kirk

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Hallo Helios7,

ein möglicher nächster Schritt ist es die Haupträume zu berechnen.
Danach ein Verfahren zur Bestimmung von Projektionen auf Unterräume verwenden.

28.07.2015, 19:40

Helios7

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Eigenraum zum Eigenwert: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker(A-(-2)E) = Ker(A+2E) = \begin{pmatrix} 3+2 & -12 & 11 \\ 1 & 3+2 & -2 \\ 1 & 5 & -4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -12 & 11 \\ 1 & 5 & -2 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 31/37 \\ 0 & 1 & -21/37 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergebnis: x1 = -31/37x3 , x2= 21/37x3 , x3 = bel.

_____________________________________________________________________

Eigenraum zum Eigenwert: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker(A-(2)E) = Ker(A-2E) = \begin{pmatrix} 3-2 & -12 & 11 \\ 1 & 3-2 & -2 \\ 1 & 5 & -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -12 & 11 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergebnis: x1 = x3, x2 = x3, x3 = bel.

_____________________________________________________________________

Wie Bestimmt man jetzt die Projektionsoperatoren auf die Haupträume? verwirrt

28.07.2015, 20:16

Captain Kirk

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Du hast du Eigenräume berechnet, gefragt waren die Haupträume.
Siehst du den Fehler?

Ferner ist bei beiden Rechnungen das zweite = falsch, links davon steht ein Unterraum rechts davon eine Matrix, das sind unvergleichbare Objekte.

Zitat:

ie Bestimmt man jetzt die Projektionsoperatoren auf die Haupträume?

Ist dir bekannt wie man Projektionsoperatoren auf Unterräume bestimmt?

28.07.2015, 21:03

Helios7

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Zitat:

Du hast du Eigenräume berechnet, gefragt waren die Haupträume.
Siehst du den Fehler?

Hauptraume zum Eigenwert: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker(A-(-2)E)^{1} = Ker \begin{pmatrix} 5 & -12 & 11 \\ 1 & 5 & -2 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix} = Ker \begin{pmatrix} 1 & 0 & 31/37 \\ 0 & 1 & -21/37 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = span \left( \begin{pmatrix} -31/37 \\ 21/37 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Hauptraume zum Eigenwert: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker(A-(2)E)^{1} = Ker \begin{pmatrix} 1 & -12 & 11 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -6 \end{pmatrix} = Ker \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = span \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker(A-(2)E)^{2} = Ker \left( \begin{pmatrix} 1 & -12 & 11 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -12 & 11 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -6 \end{pmatrix} \right) = Ker \begin{pmatrix} 0 & 31 & -31 \\ 0 & -21 & 21 \\ 0 & -37 & 37 \end{pmatrix} = Ker \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = span \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ferner ist bei beiden Rechnungen das zweite = falsch, links davon steht ein Unterraum rechts davon eine Matrix, das sind unvergleichbare Objekte.

Jetzt seh ich es auch.. hab überall das "Ker" vergessen Hammer

, Danke!!!

Zitat:

Ist dir bekannt wie man Projektionsoperatoren auf Unterräume bestimmt?

Leider nicht traurig

28.07.2015, 21:40

Captain Kirk

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Bis auf den Tippfehler im letzten Span sind die Haupträume richtig.

Zitat:

Leider nicht traurig

Es gibt hier einige Methoden. Naheliegend ist hier über die Hauptraumzerlegung zu gehen.

28.07.2015, 22:31

Helios7

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Zitat:

Es gibt hier einige Methoden. Naheliegend ist hier über die Hauptraumzerlegung zu gehen.

Bis jetzt weiß ich ja, dass:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Hau} (A, -2) := \{v \in V \mid (A - \-2\,\mathrm{id})^1 (v) = 0\} = Ker(A-(-2)E)^{1}= span \left( \begin{pmatrix} -31/37 \\ 21/37 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \Rightarrow dimKer(A+2)^{1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Hau} (A, 2) := \{v \in V \mid (A - 2\mathrm{id})^1 (v) = 0\} = Ker(A+2E)^{1}= span \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \Rightarrow dimKer(A-2)^{1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Hau} (A, 2) := \{v \in V \mid (A - 2\mathrm{id})^2 (v) = 0\} = Ker(A+2E)^{2}= span \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \Rightarrow dimKer(A-2)^{2} = 2 \end{eqnarray*}$

Randnotiz: Die Jordansche Normalform sieht demnach wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} J=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich auf dem Schlauch... ich muss einen Projektionsoperator finden,
der jeden beliebigen Vektor auf der - von den Haupträumen aufgespannte - Ebene projektiert, oder?
Wie bestimmt man so einen Operator?
Im Skript und im Internet habe ich nach folgenden begriffen gesucht:
Hauptraumzerlegung, Jordanzerlegung, Projektionsoperator...
leider konnte ich mir nicht weiterhelfen... kannst du mir Bitte sagen wie ich vorgehen muss? Gott

PLEASE

28.07.2015, 23:00

Captain Kirk

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Zitat:

Randnotiz: Die Jordansche Normalform sieht demnach wie folgt aus:

Nein, A ist nicht invertierbar, du behauptest hier das Gegenteil.
In deiner zweiten Gleichungskette ist die erste definierende Gleichung falsch, u.a weil sie der nächsten zeile widerspricht.

Zitat:

projektiert,

Das Verb ist projezieren. Das ist hier kein Projektmanagement.

Die Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_U:V \to V=U \oplus W,\quad v=u+w \mapsto u \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_U:V \to U \oplus W,\quad v=u+w \mapsto w \end{eqnarray*}$ sind deine gesuchten Projektionen wobei U und W jeweils die Haupträume sind.

30.07.2015, 13:39

Captain Kirk

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Sehe gerade ich hatte im letzten Post einen Verschreiber:
Diagonalisierbar nicht invertierbar.

Wie schaut's denn jetzt aus?

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