Teilbarkeit mit vollständiger Induktion

30.07.2015, 12:57

ChrizZly

Teilbarkeit mit vollständiger Induktion

Meine Frage:
Hallo, Ich habe folgende Aufgabe zulösen:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: 48 ist Teiler von $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+24-1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe nun folgende Lösung:
n=1 setzen. Ausrechnen und sehen 48/48.
dann $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+24-1=48m \end{eqnarray*}$ setzen.
n=n+1 und bekommt $\begin{eqnarray*} 5^{2n+1}+24-1 \end{eqnarray*}$
Dies entspricht ja: $\begin{eqnarray*} 5*5^{2n}+24-1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+24-1=48m \end{eqnarray*}$ , daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} 5*48m \end{eqnarray*}$ und dies ist durch 48 teilbar. Meine Frage nun: Ist dies so richtig, wie ich es gemacht habe? Könnte man so nicht auch falsche Folgerungen Beweisen, oder kommt es mir nur so vor?

Gruß & vielen Dank für die Hilfe.

ChrizZly

30.07.2015, 13:07

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion
Die Behauptung ist schon für n=2 falsch.
Vermutlich hast du ein n unterschlagen, denn $\begin{eqnarray*} 48\mid 5^{2n}+24n-1 \end{eqnarray*}$ ist für alle natürlichen n richtig

30.07.2015, 13:49

ChrizZly

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion
Vermutlich hast du ein n unterschlagen, denn $\begin{eqnarray*} 48\mid 5^{2n}+24n-1 \end{eqnarray*}$ ist für alle natürlichen n richtig

Stimmt. So sollte es auch sein. Aber so sieht man ja, dass mein Beweis nicht ganz stimmt, da es ja nach dem Beweis stimmen würde. Wie würde ich denn da vorgehen?

30.07.2015, 14:16

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion
Du hast dich beim Übergang von n auf n+1 gleich am Anfang vertan. Stell dir vor, das n stünde in Klammern (n) und ersetze dann n durch n+1.
Was hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 5*5^{2n}+24-1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+24-1=48m \end{eqnarray*}$ , daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} 5*48m \end{eqnarray*}$

warum woraus folgen soll, ist mir unklar. Links steht
$\begin{eqnarray*} 5*5^{2n}+24-1 \end{eqnarray*}$ und nicht etwa $\begin{eqnarray*} 5*(5^{2n}+24-1) \end{eqnarray*}$ .

30.07.2015, 17:24

ChrizZly

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion
Ich seh es gerade. Aber was wäre denn der Ansatz hierbei?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 5*5^{2n}+24-1 \end{eqnarray*}$

Dies müsste ja $\begin{eqnarray*} 25*5^{2n}+24-1 \end{eqnarray*}$

Würde ja trotzdem passen. Obwohl es nicht geht. Also der ganze ansatz mit =48m setzen ist wohl falsch. Aber wie ist dann der richtige ansatz für die Aufgabe?

EDIT:
Ich seh jetzt das Problem. Stimmt. Dann fehlt mir gerade aber die Idee.. Ich rechne mal nochmal durch.

30.07.2015, 17:35

ChrizZly

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion
Ok. Das ganze Prozedere von von vorne mit $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+24n-1 \end{eqnarray*}$ . Bei n+1 bekomme ich ja dann: $\begin{eqnarray*} 5^{2(n+1)}+24(n+1)-1 \Rightarrow 25*5^{2n}+24n+24-1 \end{eqnarray*}$

Und nun?

30.07.2015, 18:20

Mathema

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion

Zitat:

Original von ChrizZly
$\begin{eqnarray*} 5^{2(n+1)}+24(n+1)-1 \Rightarrow \textcolor{blue}{25*5^{2n}}\textcolor{red}{+24n}+24\textcolor{red}{-1} \end{eqnarray*}$

Und nun?

Ich helfe dann mal kurz aus. Nun versuchst du deine IV ins Spiel zu bringen. Den roten Teil kannst du schon dafür gebrauchen. Für den Fehlenden Teil kannst du dich ja an blau bedienen.

Für den Rest steht dir denn URL bestimmt wieder zur Verfügung.

Wink

30.07.2015, 18:32

ChrizZly

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RE: Teilbarkeit mit vollständiger Induktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 5^{2(n+1)}+24(n+1)-1 \Rightarrow \textcolor{blue}{25*5^{2n}}\textcolor{red}{+24n}+24\textcolor{red}{-1} \end{eqnarray*}$

Soweit war ich auch schon. Ich habe es ja auseinandergezogen eben mit dem Ziel, dass es so in der art aussieht, wie es in der IV tat. Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich die $\begin{eqnarray*} 25*5^2n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 5^2n \end{eqnarray*}$ bringe. Durch 25 Teilen kann ich ja nicht, da ja die anderen dann nicht passen.

30.07.2015, 18:38

Mathema

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Nun gut - dann doch noch ein Hinweis von mir:

Es ist:

$\begin{eqnarray*} 12\cdot 3^x=4\cdot3^x+8\cdot 3^x=2\cdot 3^x + 10\cdot3^x=... \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir ja diese Erkenntnis irgendwie weiter...

edit:

Zitat:

Durch 25 Teilen kann ich ja nicht, da ja die anderen dann nicht passen.

Das ist übrigens eine ganz schlechte Idee. Das kannst du bei einer Gleichung machen, aber doch nicht bei einem Term. unglücklich

30.07.2015, 18:51

ChrizZly

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ok. Dann habe ich ja $\begin{eqnarray*} 24*5^{2n}+5^{2n}+24n-1+24 \end{eqnarray*}$

Den Teil vom IV kann ich ja wegkürzen, da ich ja davon ausgehe, dass dieser durch 48 Teilbar ist (Wie wäre es denn formell richtig für eine Klausur?) Also erhalte ich: $\begin{eqnarray*} 24*5^{2n}+24\Rightarrow 24(5^{2n}+1) \end{eqnarray*}$ Der Inhalt der Klammer muss nur noch durch 2 Teilbar sein. 5^x ist immer ungerade für alle x in R (Wie beweise ich es?). mit eins Addiert wird die Klammer gerade und ich durch 2 Teilbar, also ist die gesamte Aufgabe durch 48 Teilbar.

Richtig so?

30.07.2015, 22:47

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So ist das im Prinzip richtig.
Formaler könntest du schreiben: Wegen der Induktionsvoraussetzung gilt
$\begin{eqnarray*} 48 \mid 24*5^{2n}+5^{2n}+24n-1+24 \iff 48 \mid 24*5^{2n}+24 = 24(5^{2n}+1) \end{eqnarray*}$
Die zweite Aussage ist aber richtig, weil $\begin{eqnarray*} 5^{2n}+1 \end{eqnarray*}$ gerade ist.
Dass $\begin{eqnarray*} 5^{2n} \end{eqnarray*}$ ungerade ist, folgt einfach aus dem Umstand, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.

Danke Mathema für die Aushilfe Wink

30.07.2015, 23:02

IfindU

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Es ist doch aber sicher eine schöne Übung $\begin{eqnarray*} 2 | 5^{2n} + 1 \end{eqnarray*}$ per Induktion zu zeigen.

30.07.2015, 23:28

Mathema

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Zitat:

Danke Mathema für die Aushilfe

Gerne - das Schlusswort wollte ich denn aber doch dir überlassen. Augenzwinkern

Den Vorschlag von IfindU finde ich übrigens super und ich würde dir, ChrizZly, empfehlen, diese gute Übung ruhig noch mal zu machen (auch wenn in einer Klausur der Satz von URL sicher ausreichend ist). Der Beweis sollte dir nun aber bestimmt recht einfach von der Hand gehen.

Wink

31.07.2015, 00:13

Grashalmfest

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Wenn du weiter üben möchtest, dann ist auch diese pdf zu empfehlen.

emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf

Sie enthält viele Aufgaben zur Induktion. Auch zur Teilbarkeit, die ich sehr schön finde.
Zu jeder Aufgabe gibt es eine Lösung, die es auch immer sehr schön erklärt, wie ich finde.

31.07.2015, 10:08

ChrizZly

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Hallo,
Vielen Dank für all die Hilfreichen Antworten!

Den Satz von URL merke ich mir, werde aber auch nochmal $\begin{eqnarray*} 2|5^{n}+1 \end{eqnarray*}$ Das durchrechnen. Nur habe ich in der Klausur im normalfall nicht so viel Zeit noch eine induktion zu machen.

Die Übungen schau ich mir auch mal an.

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