Einfache Reihe vereinfachen

01.08.2015, 21:06

Suchender432

Einfache Reihe vereinfachen

Hallo

Wie kann ich diese Reihe vereinfachen?

-Sei n die Anzahl der Summanden.
-Seien $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ zufällige Zahlen.

$\begin{eqnarray*} a_{n-1} \cdot (n-1) + a_{n-2} \cdot (n-2) + a_{n-3} \cdot (n-3) + ... + a_{n-n} \cdot (n-n) \end{eqnarray*}$

Da ich kein Mathematiker bin, kann ich nicht sagen, ob diese Reihe zu vereinfachen ist.
Falls keine Vereinfachung existiert, existiert eine Approximation?

Bin schon gespannt auf Antworten smile

01.08.2015, 21:20

Suchender432

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RE: Einfache Reihe vereinfachen
Antwort an mich selbst:

$\begin{eqnarray*} s = a_{n-1}+...+a_{n-n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} resultat = s - 1 \cdot a_{n-2}- 2 \cdot a_{n-3}-...- (n-1) \cdot a_{n-n+1} \end{eqnarray*}$

Ich glaube, mit weniger Rechenschritten geht es nicht...

01.08.2015, 21:23

Suchender432

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RE: Einfache Reihe vereinfachen
Edit: s sollte noch mit (n-1) multipliziert werden...

01.08.2015, 21:27

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Falls keine Vereinfachung existiert, existiert eine Approximation??

Die Frage ist: Was verstehst du unter einer Vereinfachung oder einer Approximation?
Eine Reihe (oder eine Folge) sehe ich hier auch nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{n-1} \cdot (n-1) + a_{n-2} \cdot (n-2) + a_{n-3} \cdot (n-3) + ... + a_{n-n} \cdot (n-n) \end{eqnarray*}$

ist ein Term, der anschaulich die zufälligen Zahlen mit ihrer Position multipliziert addiert
Vereinfachen konnte man den Term indem man den letzten Summanden weglässt, da n-n=0.
Mehr sehe ich nicht, der Term hängt von n-1 Eingabeparametern/zufälligen zahlen ab, die müssen auch irgendwo vorkommen. Viel einfacher als ein Summand für jeden der Parameter geht es eigentlich nicht.

01.08.2015, 21:31

Grashalmfest

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_{n-k}(n-k) \end{eqnarray*}$

ist eine Summe mit endlich vielen Summanden.
Eine Reihe hat unendlich viele Summanden. Der letzte Summand wäre hier übrigens Null und kann weggelassen werden.

Nein, das kann man in dieser Form nicht weiter vereinfachen. Außer du lässt halt den letzten Summanden weg.

Zitat:

existiert eine Approximation?

Klar

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_{n-k}(n-k)<\infty \end{eqnarray*}$

Aber was verstehst du hier auch unter Approximation...

Deine Frage ist sehr dubios.
In welchem Kontext tritt sie auf?
Gibt es eine Aufgabenstellung dazu?
Was willst du mit der Summe denn machen? So ist das ganze bisher ziemlich inhaltsleer.

Deine eigene Antwort verstehe ich nicht.

01.08.2015, 21:34

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} s = a_{n-1}+...+a_{n-n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} resultat = s - 1 \cdot a_{n-2}- 2 \cdot a_{n-3}-...- (n-1) \cdot a_{n-n+1} \end{eqnarray*}$

Vereinfache doch als allererstes mal deine Indezes.
Dann ist es falsch. Eher :
$\begin{eqnarray*} resultat = (n-1)s - 1 \cdot a_{n-2}- 2 \cdot a_{n-3}-...- (n-2) \cdot a_{n-n+1}-(n-1)a_{n-n} \end{eqnarray*}$
Und die Vereinfachung liegt hier im Auge des Betrachters.

01.08.2015, 21:44

Suchender432

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Da komme ich gleich schon zu meiner nächsten Fragestellung.

Wir haben also n zufällige Zahlen.

Wir haben die oben genannte Formel $\begin{eqnarray*} resultat0 = a_{n-1} \cdot (n-1) + a_{n-2} \cdot (n-2) + a_{n-3} \cdot (n-3) + ... + a_{n-n} \cdot (n-n) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Nun nehmen wir an, dass eine weitere zufällige Zahl a_{n} hinzukommt, sodass wir nun insgesamt (n+1) Zufallszahlen haben.

Wie kann ich resultat1 einfach aus resultat0 berechnen, ohne erneut folgende folgende Formel anwenden zu müssen:

$\begin{eqnarray*} resultat1 = a_{n} \cdot (n-1) + a_{n-1} \cdot (n-2) + a_{n-2} \cdot (n-3) + ... + a_{n-n+1} \cdot (n-n) \end{eqnarray*}$

(Bemerkung: Bei resultat1 kommt $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ hinzu, $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ fällt weg)

Bin gespannt auf Antworten smile

01.08.2015, 21:48

Suchender432

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Sorry ich kann meine Texte nicht editieren, aber danke schon mal für die Antworten!

01.08.2015, 21:55

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} resultat1=a_n(n-1)-s +resultat0 \end{eqnarray*}$

01.08.2015, 22:02

Suchender432

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Zitat:

Original von Captain Kirk
$\begin{eqnarray*} resultat1=a_n(n-1)-s +resultat0 \end{eqnarray*}$

Das kann nicht stimmen!

01.08.2015, 22:05

Captain Kirk

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Zitat:

Das kann nicht stimmen!

Wiseo nicht?

01.08.2015, 22:11

Suchender432

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Das kann nicht stimmen!

Wiseo nicht?

Doch tatsächlich!

Mein Algorithmus hat sich gerade um einiges vereinfacht!

Das kommt wieder die Stärke der Mathematik zum Vorschein!

01.08.2015, 22:15

Suchender432

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Zitat:

Original von Grashalmfest
Aber was verstehst du hier auch unter Approximation...

Deine Frage ist sehr dubios.
In welchem Kontext tritt sie auf?
Gibt es eine Aufgabenstellung dazu?
Was willst du mit der Summe denn machen? So ist das ganze bisher ziemlich inhaltsleer.

Deine eigene Antwort verstehe ich nicht.

Ich schreibe einen Algorithmus.
Es existiert eine Zahlenreihe, davon entnehme ich die ersten n Zahlen und berechne den "gewichteten Durchschnitt". Dann nehme ich die nächsten n Zahlen, alle um 1 verschoben, und wiederhole das Prozedere. Nun habe ich einen schnellen Algorithmus gefunden.

01.08.2015, 23:20

Suchender432

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Funktionsweise des leicht modifizierten Algorithmus:
(Formeln haben sich leicht geändert, $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ wird nun auch gewertet)

$\begin{eqnarray*} s0 = a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{n-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} resultat0 = s0 \cdot n - 1 \cdot a_{n-2} - 2 \cdot a_{n-3} - ... - (n-1) \cdot a_{n-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} resultat1 = a_{n} \cdot (n) + resultat0 - s0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s1 = s0 - a_{n-n} + a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} resultat2 = a_{n+1} \cdot (n) + resultat1 - s1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s2 = s1 - a_{n-n+1} + a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} resultat3 = a_{n+2} \cdot (n) + resultat2 - s2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$

04.08.2015, 11:06

Suchender432

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Ich betrachte nun folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} resultat0 =(n)^{k} \cdot a_{n-1} + (n-1)^{k} \cdot a_{n-2} + ... + (1)^{k} \cdot a_{0} \end{eqnarray*}$

Für k = 1 haben wir die selbe Formel wie oben. (linear steigende Gewichtung)
Für k = 0 werden alle Summanden gleich stark gewichtet.
Für k > 1 haben wir eine exponential steigende Gewichtung.

Nun soll wieder ein schnelles Verfahren gefunden werden wie die selbe Rechnung mit einem hinzukommenden Summanden am Schluss des Terms und einem wegfallenden Summanden am Ende des Terms berechnet werden kann.
resulatat1 soll also äquivalent zu folgendem Term sein:

$\begin{eqnarray*} resultat1 =(n)^{k} \cdot a_{n} + (n-1)^{k} \cdot a_{n-1} + ... + (1)^{k} \cdot a_{1} \end{eqnarray*}$

Dazu berechnen wir:

$\begin{eqnarray*} s0 = a_{0} \cdot (1^{k}-0) + a_{1} \cdot (2^{k}-1^{k}) + ... + a_{n-1} \cdot (n^{k}-(n-1)^{k}) \end{eqnarray*}$

Ich komme jetzt zwar auf einfache Weise auf resultat1, nämlich

$\begin{eqnarray*} resultat1 = (n)^{k} \cdot a_{n} + resultat0 - s0 \end{eqnarray*}$

aber wie komme ich jetzt mit möglichst wenig Rechenschritten auf resultat2?

resultat2 soll ja folgendes sein:

$\begin{eqnarray*} resultat2 =(n)^{k} \cdot a_{n+1} + (n-1)^{k} \cdot a_{n} + ... + (1)^{k} \cdot a_{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

05.08.2015, 16:50

Suchender4321

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Hallo Leute

Ich wollte nur noch mal auf meine Frage (siehe 1 Beitrag vorher) aufmerksam machen.

Irgendwie schwebt mir im Hinterkopf der Begriff "Ableitung" umher, und ich werde es bald noch mal damit probieren...

05.08.2015, 17:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Suchender432
Für k > 1 haben wir eine exponential steigende Gewichtung.

Der Begriff "exponentielle Gewichtung" ist eher für das hier passend (d.h. Index im Exponenten statt in der Potenzbasis), und dafür gibt es dann auch eine vereinfachende rekursive Berechnung.

Für die hier vorliegende Potenzgewichtung sehe ich da hinsichtlich einer signifikanten Vereinfachung ziemlich schwarz.

05.08.2015, 22:45

Suchender432

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Suchender432
Für k > 1 haben wir eine exponential steigende Gewichtung.

Der Begriff "exponentielle Gewichtung" ist eher für link das hier passend (d.h. Index im Exponenten statt in der Potenzbasis), und dafür gibt es dann auch eine vereinfachende rekursive Berechnung.

Für die hier vorliegende Potenzgewichtung sehe ich da hinsichtlich einer signifikanten Vereinfachung ziemlich schwarz.

Dein Vorschlag klingt vernünftig.

Ich könnte meine Daten nach folgendem Muster gewichten:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{0} \cdot a_{n} + (1-x)^{1} \cdot a_{n-1} + ... + (1-x)^{n} \cdot a_{0} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$

Je höher x, desto stärker werden jene Werte mit hohem Index gewertet.

Nachteile:
Es ist keine linear steigende Gewichtung und keine konstante Gewichtung mehr möglich.

Gruss
Suchender

Edit: Konstante Gewichtung ist doch möglich mit x = 0

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