Beweis mit Widerspruch

02.08.2015, 16:04

Matheversteher

Beweis mit Widerspruch

Hallo alle zusammen Wink

nach langer Zeit habe ich mal wieder ein Problem und zwar mit dem Beweis durch Widerspruch.

Ich soll mit dieser Beweismethode zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ist gerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist gerade.

Ich glaube über die Form des Direkten Weges kann ich es:

Setze n= 2k mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das heißt, $\begin{eqnarray*} n^2 \rightarrow (2k)^2 \end{eqnarray*}$ . Somit:

$\begin{eqnarray*} 2k^2 = 2k\cdot 2k= 4k^2 \end{eqnarray*}$ , das heißt, das ganze ist durch 2 teilbar und somit gerade.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (2k)^2 \end{eqnarray*}$ ziehe ich nun die Wurzel erhalte ich |2k| und das ist ebenfalls durch 2 teilbar und somit gerade.

Wie sieht nun der Beweis durch Widerspruch aus? Wie muss ich Anfangen?

Ich würde so beginnen, wenn $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gerade, dann ist n (in mindestens einem Fall) ungerade.

also: $\begin{eqnarray*} (2k)^2 \Rightarrow 2k+1 \end{eqnarray*}$
Aber wie ich ja schon im direkten Beweis versucht habe zu zeigen, ist die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} (2k)^2 \end{eqnarray*}$ gerade.

Ich bedanke mich schonmal für eure Ratschläge, Tipps und Hilfen

02.08.2015, 16:21

10001000Nick1

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RE: Beweis mit Widerspruch

Zitat:

Original von Matheversteher
Ich glaube über die Form des Direkten Weges kann ich es:

Setze n= 2k mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Genau das wilst du doch zeigen. Du kannst doch nicht die zu beweisende Aussage gleich am Anfang des Beweises voraussetzen.

Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wäre ungerade und zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ungerade ist.
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist, kann man es schreiben als $\begin{eqnarray*} n=2k+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray*} n^2=(2k+1)^2=... \end{eqnarray*}$
Wie geht's jetzt weiter?

02.08.2015, 20:58

Matheversteher

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RE: Beweis mit Widerspruch

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wäre ungerade und zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ungerade ist.
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist, kann man es schreiben als $\begin{eqnarray*} n=2k+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray*} n^2=(2k+1)^2=... \end{eqnarray*}$
Wie geht's jetzt weiter?

Also weiter geht es so:

$\begin{eqnarray*} (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \end{eqnarray*}$ das ist ungerade, da die ersten beiden Summanden durch 4, somit auch durch 2 teilbar sind. der letzte Summand hingegen ist nicht durch 2 teilbar, daher ist die Quadratzahl ungerade.

Aber hierraus kann ich ja nicht schließen, dass wenn $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, dass n dann ebenfalls gerade ist. ich meine eine gerade Zahl hat ja die Form 2k, da sie andernfalls nicht durch 2 teilbar wäre. Aus diesem Grund habe ich das zu Beginn geschrieben. verwirrt

02.08.2015, 21:09

10001000Nick1

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RE: Beweis mit Widerspruch

Zitat:

Original von Matheversteher
Aber hierraus kann ich ja nicht schließen, dass wenn $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, dass n dann ebenfalls gerade ist.

Doch, kannst du. Das ist ja gerade das Prinzip des Widerspruchsbeweises: Du nimmst an, die zu zeigende Aussage (hier: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist gerade) wäre falsch, und folgerst daraus einen Widerspruch zur Voraussetzung (hier: $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ist gerade).
Formal basiert der Widerspruchsbeweis auf der Äquivalenz $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ .

05.08.2015, 21:20

Matheversteher

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RE: Beweis mit Widerspruch
Tut mir leid, dass ich jetzt erst antworte aber die letzten Tage hatte ich keine Anschluss ans Internet.

Zurück zum Thema:

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Formal basiert der Widerspruchsbeweis auf der Äquivalenz $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube ich habe es verstanden. Der direkte Beweis ist $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B) \end{eqnarray*}$ und der Beweis durch Widerspruch ist $\begin{eqnarray*} (\neg B\Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ .

Ähm was wäre denn dann der indirekte Beweis?
$\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow \neg B) \end{eqnarray*}$

Oder ist das Käse?

05.08.2015, 23:55

Dopap

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RE: Beweis mit Widerspruch

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Formal basiert der Widerspruchsbeweis auf der Äquivalenz $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ .

ich würde das als Beweis durch Kontraposition bezeichnen.

Ähm was wäre denn dann der indirekte Beweis?

ich sehe indirekten Beweis und den Satz vom Widerspruch in einem Boot:

$\begin{eqnarray*} ( \lnot A \Rightarrow f ) \Rightarrow A \end{eqnarray*}$

06.08.2015, 19:01

Matheversteher

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Alles klar, ich danke euch beiden! Wink

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