Umlaufsatz / Homöomorphie / Kurven und Kreislinie

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Umlaufsatz / Homöomorphie / Kurven und Kreislinie
Meine Frage:
Hallo Leute,

in der Differentialgeometrie habe ich den Umlaufsatz kennengelernt. Dieser besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve Umlaufzahl/Tangentendrehzahl oder hat.

Der Beweis dazu steht in meinem Skript, ist aber nicht gerade ein 3 Zeiler. Dabei ist die Aussage ja irgendwie so anschaulich.

In der Topologie habe ich das Konzept der Homöomorphie kennengelernt. Und teilweise habe ich auch gelesen, dass die Homöomorphie zur Kreislinie, gerade eine einfach geschlossene Kurve definiert. Wir haben es über die Periodizität und die Injektivität auf definiert.

Meine Ideen:
Ich hatte nun folgende Idee. Falls die Umlaufzahl eine topologische Invariante ist, dann ist der Umlaufsatz ja fast trivial. Der Beweis würde dann ungefähr so klingen:

Sei eine einfach geschlossene Kurve. Diese ist homöomorph zur Kreisline . Diese hat Umlaufzahl . Demnach hat auch Umlaufzahl , da die Umlaufzahl unter Homöomorphie erhalten bleibt.

Jetzt bin ich mir aber nicht ganz sicher, ob dies wirklich eine topologische Invariante ist. Habe dazu aber in meinem Topo-Slript beim Thema Abbildungsgrad folgendes gefunden:

"Die grundlege Eigenschaft der Umlaufzahl ist, dass sie sich unter Homotopie nicht ändert."

Damit lässt sich doch arbeiten, dachte ich mir. Denn sind zwei Objekte homöomorph so sind sie auch homotop. Damit wäre ich schon fertig.

Stimmen diese Überlegungen denn soweit? Und kann man mit Hilfe der Topologie dann den Beweis wirklich so viel einfacher führen?

Viele Grüße und vielen Dank smile
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umlaufsatz / Homöomorphie / Kurven und Kreislinie
hat sich das schon jemand angesehen? Falls es denn so passt, dann liegt wohl die Arbeit darin zu zeigen, dass jede einfach geschlossene Kurve homöomorph zur Kreislinie ist. Das verwenden manche als Definition, dann gehts natürlich recht schnell.

Viele Grüße Stevie
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umlaufsatz / Homöomorphie / Kurven und Kreislinie
Auch wenn es jetzt schon bisschen her ist, schreibe ich hier noch einmal was dazu smile

Ich habe mir den Beweis noch mal angeschaut, also den in meinem Skript. Leider sind die Beweise die ich zum Umlaufsatz finde, immer etwas technisch, so dass man die eigentliche Idee nicht wirklich erkennt - ich zumindest nicht. Jetzt ist mir aber aufgefallen, dass der Beweis eigentlich genau die Idee, die ich hatte verfolgt.

Wir müssen 3 Dinge zeigen:

1) Jede einfach geschlossene Kurve ist stetig deformierbar in eine "einfache" Kurve, an welcher wir dann die Umlaufzahl einfach ablesen können.

etwas mathematischer: Wir müssen zeigen, dass jede einfach geschlossene Kurve homöomorph zur ist.

hier steckt natürlich Arbeit drin, die man sich spart, wenn man einfach geschlossene Kurven als Kurven definiert, die homöomorph zur Kreislinie sind.

2) Die Umlaufzahl bleibt unter dieser stetigen Deformation erhalten, ansonsten würde ja auch die Deformation nichts bringen.

auch hier steckt natürlich Arbeit drin.

3) Wir müssen die Umlaufzahl der einfacheren Kurve (hier der ) bestimmen, dann kennen wir auch die der ursprünglichen Kurve

Das ist doch die Idee oder habe ich da was falsch verstanden?
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