Wahrscheinlichkeiten bei negativ binomial- und gleichverteilter ZV

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Stata Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeiten bei negativ binomial- und gleichverteilter ZV
Guten Abend liebe Stochastikliebhaber

Eigentlich habe ich ja Ferien, aber gibt es etwas schöneres als sich über folgende Aufgabe einige Gedanken zu machen? Big Laugh

Folgende Angaben habe ich: Schäden sind negativ binomialverteilt mit den Parametern r = 3 und p=0.3; die Höhe des Schadens sei auf dem Intervall [0;1000] gleichverteilt. Der Kunde trägt aber Schäden bis 200 selbst (sog. Abzugsfranchise).

Gefragt sind nun die W'keiten für
(a) kein Schaden wird verursacht
(b) mindestens zwei Schäden werden verursacht
(c) mindestens eine Entschädigung, die dem Kunden gezahlt wird

Hier mein Lösungsvorschlag:
(a)
(b)
mit
(c) Erst einmal: Es muss mindestens ein Schaden vorliegen, d.h . Eine Entschädigung wird aber nur dann dem Kunden gezahlt, wenn der Schaden grösser als 200 ist. Die W'keit für einen Schaden grösser als 200 ist aber 0.8 (Gleichverteilung mit einer Dichte hier . Darf ich dann nehmen?

Es gäbe dann noch eine Zusatzfrage: Wie gross wäre die W'keit, dass eine einzelne Entschädigung einen Betrag von 300 übersteigt, falls eine Entschädigung bezahlt wird. Für eine Entschädigung muss genau ein Schadenereignis eintreten, also . Die W'keit, dass dann der Betrag der Entschädigung 300 übesteigt, muss der Schaden mindestens 500 (300+200) betragen; die W'keit hierfür ist aber gerade 0.5. Dann würde ich wieder beide W'keiten multiplizieren und erhielte 0.1529. Aber sowohl bei (c) als auch hier packen mich Zweifel...

Könntet ihr mal darüber schauen?

Vielen Dank und einen schönen Abend.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht die Schäden, sondern die Anzahl der Schäden ist negativ binomialverteilt - achte bitte auf die korrekte Wortwahl, auch und gerade weil es hier bei dieser Aufgabe dann auch tatsächlich auch noch um die Schadenshöhen geht. Ok, wir haben die Verteilung



vorliegen. Sei nun die Anzahl der Schäden mit Schadenshöhe . Offenbar ist bei Schäden diese Anzahl bedingt binomialverteil , insbesondere gilt dann . Insgesamt gilt somit gemäß totaler Wahrscheinlichkeit

.

Mit der Hilfsrechnung



gewonnen durch zweifache Differentiation von kann man nun diesen Wert berechnen. Am Ende interessiert dich natürlich . Augenzwinkern



P.S.: Ich finde es interessant, dass bei Gegenüberstellung der englischen und deutschen Wikipediaeinträge zur negativen Binomialverteilung in der englischen Variante r die Anzahl der Fehlversuche und in der deutschen die Anzahl der Erfolge kennzeichnet, in beiden Fällen mit p als Erfolgswahrscheinlichkeit. Du scheinst die englische Variante zu meinen - bei der deutschen wäre mit



zu rechnen. Augenzwinkern
Stata Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber HAL 9000

Danke! Jch habe diesmal länger gebraucht...

Du hast natürlich bzgl. der Wortwahl recht, ich versuche mich zu bessern.

Viel Aufregung hat bei uns aber auf einmal die unterschiedliche Definition der Binomialverteilung ausgelöst. Keiner hat nämlich die Wiki-Einträge zu Rate gezogen, sondern direkt aus dem Skript die Funktion übernommen; leider gibt es innerhalb des selben Instituts unterschiedliche Definitionen. Dieses "Problem" hat nun ein Ende. Danke für Deine Erklärungen und Deine Zeit hierfür.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist ärgerlich, und schwer zu ändern: Solange sich nicht die eine oder andere Auffassung durchgesetzt hat, muss man bei Bezeichnungen wie verdammt genau aufpassen, was denn nun mit inhaltlich gemeint ist, d.h., Anzahl Fehlversuche oder Anzahl Erfolge. Augenzwinkern
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