Integration, Nullmenge

03.08.2015, 10:19

StrunzMagi

Integration, Nullmenge

Satz: Sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \in R[a,b] \end{eqnarray*}$ fast überall auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ gleich, so ist
$\begin{eqnarray*} \int_a^b fdx= \int_a^b g dx \end{eqnarray*}$

Laut Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} N:=\{x \in [a,b]: f(x) \not= g(x)\} \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge, kann also für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ von höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Intervallen übedeckt werden deren Längensumme $\begin{eqnarray*} \le \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.
Für $\begin{eqnarray*} h(x):=f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \not\in N \end{eqnarray*}$
Also wenn wir über ein Intervall integrieren, dass keinen Punkt der Nullmenge enthält so haben wir $\begin{eqnarray*} \int_a^b h(x) dx =0 \end{eqnarray*}$
Was ist aber wenn wir über ein Intervall integrieren, dass Punkte der Nullmenge enthält?
Oder kann man irgendwie zeigen dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{x \in [a,b]: f(x)=g(x)\}= [a,b]\setminus N \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ liegt?
Mir steht das Lebesguesche Integrabilitätskriterium zur Verfügung, aber ich komme hier nicht weiter.

Frage 2:
Also Bemerkung wird in der Vo angeführt, dass der Satz:
Unterscheidet sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \in R[a,b] \end{eqnarray*}$ nur an endlich vielen Stellen des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , so gehört auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} R[a,b] \end{eqnarray*}$ , und es gilt $\begin{eqnarray*} \int_a^b f dx = \int_a^b g dx \end{eqnarray*}$ .
zwar in Zusammenhand mit den obigen Satz steht aber nicht eine Verallgemeinerung desselben ist. Ich verstehe aber nicht warum...? In meinen Satz, den ich zu beweisen habe geht es ja statt um endlich viele Stellen um eine Nullmenge also ist es schon eine Art Verallgemeinerung.

03.08.2015, 13:15

RavenOnJ

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RE: Integration, Nullmenge,
Teile doch das Integral auf: In a) die Intervalle, die die Menge N überdecken, mit Längensumme höchstens $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ , und b) den Rest. Das Intgeral von h über die Menge aus b) ist offenbar 0. Für die Menge aus a) gilt ja nach der Definition einer Nullmenge, dass die Längensumme der Intervalle $\begin{eqnarray*} \le \epsilon \end{eqnarray*}$ ist. Gemäß dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium ist erforderlich, dass f und g beschränkt sind, also auch h. Es ist nun
$\begin{align*} \left\vert\;\int\limits_{N_\epsilon} h \dd x\right\vert \le \epsilon\cdot\sup_{x\in N_\epsilon}\left\vert h(x)\right\vert\quad(*) \end{align*}$ ,
wobei $\begin{align*} N_\epsilon \end{align*}$ die Vereinigung von Intervallen sein soll, die N überdecken und deren Längensumme höchstens $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ beträgt. Wenn du von (*) jetzt den Limes $\begin{align*} \epsilon\to 0 \end{align*}$ bildest, dann muss dies 0 ergeben.

Edit: Um gewissen Argumentationsschwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, kannst du auf der rechten Seite von (*) auch schreiben
$\begin{align*} \le \epsilon\cdot\sup_{x\in [a,b]}\left\vert h(x)\right\vert \end{align*}$

04.08.2015, 09:57

StrunzMagi

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Hallo,
Ich komme damit noch nicht ganz zurrecht. Was ist denn ein Integral über eine Menge? Ich kenne bis jetzt nur ein Integral über feste Granzen, also einem Intervall:

$\begin{eqnarray*} N:=\{x \in [a,b]: f(x) \not= g(x)\} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest: $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ abzählbar viele abgeschlossene Intervalle $\begin{eqnarray*} I_1,I_2,.: \sum_{k\in \mathbb{N}} |I_k| \le \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} x \not\in \mathbb{N}: h(x):=f(x)-g(x) =0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ Integral über ein Intervall mit $\begin{eqnarray*} I \cap N = \emptyset \end{eqnarray*}$ ist 0.
Integral über einer der Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest:
$\begin{eqnarray*} \int_{I_k} h(x) dx \le \int_{I_k} sup_{x\in I_k} |h(x)| dx \le \epsilon * sup_{x\in I_k} |h(x)| \le C \epsilon \rightarrow 0 (\epsilon\rightarrow 0) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} |I_k| \le \sum_{k\in\mathbb{N}} |I_k| \le \epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das so auch in Ordnung?
Liebe Grüße,
MaGi

04.08.2015, 11:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Was ist denn ein Integral über eine Menge? Ich kenne bis jetzt nur ein Integral über feste Granzen, also einem Intervall:

Lass dich nicht vom Wort Menge irritieren. Ich meinte damit die Vereinigung der abgeschlossenen Intervalle, die N überdecken. Dies ist eine abzählbare Menge von elementfremden Intervallen, die alle ihre festen Grenzen haben. Das Integral über diese Vereinigung von disjunkten Intervallen ist die Summe der Integrale über die einzelnen Intervalle. Die Beschränktheit von f und g, und die Tatsache, dass die Längensumme der Intervalle beschränkt ist, sichert die Existenz des Integrals.

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} x \not\in {\color{red}\mathbb{N}}: h(x):=f(x)-g(x) =0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ Integral über ein Intervall mit $\begin{eqnarray*} I \cap N = \emptyset \end{eqnarray*}$ ist 0.

Hier meinst du wohl eher die Menge N und nicht die natürlichen Zahlen. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} I \cap N = \emptyset \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt ein Intervall.

Zitat:

Integral über einer der Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest:
$\begin{eqnarray*} \int_{I_k} h(x) dx \le \int_{I_k} sup_{x\in I_k} |h(x)| dx \le \epsilon * sup_{x\in I_k} |h(x)| \le C \epsilon \rightarrow 0 (\epsilon\rightarrow 0) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} |I_k| \le \sum_{k\in\mathbb{N}} |I_k| \le \epsilon \end{eqnarray*}$

Hier betrachtest du nur ein einziges k, du musst aber die Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ betrachten. Oben hatte ich diese Vereinigung so definiert, auch wenn dir das vielleicht nicht ganz klar war: $\begin{eqnarray*} N_\epsilon := \bigcup_{k\in\mathbb{N}} I_k,\sum_{k\in\mathbb{N}} |I_k| \le \epsilon \end{eqnarray*}$

EDIT: Der Einfachheit halber kannst du annehmen, dass die Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ schon disjunkt sind.

05.08.2015, 09:36

StrunzMagi

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Ah danke, nun hab ich deinen Weg verstanden!
Lieben Dank

Zitat:

Original von RavenOnJ

Hier betrachtest du nur ein einziges k, du musst aber die Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ betrachten. Oben hatte ich diese Vereinigung so definiert, auch wenn dir das vielleicht nicht ganz klar war: $\begin{eqnarray*} N_\epsilon := \bigcup_{k\in\mathbb{N}} I_k,\sum_{k\in\mathbb{N}} |I_k| \le \epsilon \end{eqnarray*}$

EDIT: Der Einfachheit halber kannst du annehmen, dass die Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ schon disjunkt sind.

Noch eine Frage:
Auch wenn ich nur ein einziges k betrachte, die Unformung gilt doch für jedes $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Wenn jedes der Intervalle gegen 0 konvergiert, konvergiert doch die Summe der Integrale der einzelnen Intervalle auch gegen 0?

05.08.2015, 11:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von StrunzMagi

Noch eine Frage:
Auch wenn ich nur ein einziges k betrachte, die Unformung gilt doch für jedes $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Wenn jedes der Intervalle gegen 0 konvergiert, konvergiert doch die Summe der Integrale der einzelnen Intervalle auch gegen 0?

Das ist schon richtig, aber nur wegen der Bedingung an die Längensumme. Du musst also irgendwo reinbringen, dass die Längensumme $\begin{align*} \le \epsilon \end{align*}$ sein soll. Dass die einzelnen Intervalle dann auch $\begin{align*} \le \epsilon \end{align*}$ lang sein müssen, ist trivial und reicht als Bedingung nicht aus. Denk nur mal an die harmonische Reihe: Da kannst du auch jeden Summanden mit $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ skalieren, trotzdem ist die Summe unendlich.

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