Injektivität zeigen

Neue Frage »

lule Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität zeigen
Meine Frage:
Gegeben sei die Abbildung:



Aufgabe: Untersuchen Sie die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität.
Ich scheitere schon bei der Injektivität.

Meine Ideen:
Also ich vermute, dass diese Abbildung Injektiv ist.
Habe schon einige Zahlen ausgerechnet wobei mir etwas aufgefallen ist,
18 = 2 * 9
19 = 1 * 19
20 = 4 * 5
21 = 1 * 21
22 = 2 * 11

Der erste Faktor ist immer gerade, der zweite immer ungerade und zum berechnen einer Zahl wird entweder der erste Faktor 1 (bei ungeraden Zahlen) oder der zweite Faktor wird zu einem ungeraden Teiler der Zahl.

Nun weiß ich nicht ob mir dies weiter hilft und wenn doch, in wie fern es mir weiter hilft.

Eine andere Idee wäre zu sagen:

beliebig.




Und hier sieht man, dass das zu wählende y immer von x und a abhängt und so nicht unabhänging sondern nur in einer bestimmten Kombination wählbar ist und p deshalb injektiv sein muss.

Doch das erscheint mir doch sehr unmathematisch und unsauber, ich stehe hier etwas auf dem Schlauch und freue mich über eure Hilfe. smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Seien und sei oBdA .

Angenommen, es gilt



Es folgt



Vereinfache und verfolge deine Gedanken zu gerade/ungerade weiter. Was muss für x und n gelten, damit die Gleichung überhaupt noch korrekt sein kann? Und dann: Was muss für y und m gelten?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Zitat:
Original von lule

Der erste Faktor ist immer gerade, der zweite immer ungerade und zum berechnen einer Zahl wird entweder der erste Faktor 1 (bei ungeraden Zahlen) oder der zweite Faktor wird zu einem ungeraden Teiler der Zahl.

Nun weiß ich nicht ob mir dies weiter hilft und wenn doch, in wie fern es mir weiter hilft.


Das stimmt nicht ganz, denn ist nicht gerade. Jede positive ganze Zahl lässt sich in einen Faktor der Form und einen ungeraden Faktor aufspalten. Insofern führen deine Überlegungen durchaus weiter. Jetzt musst du nur noch zwei verschiedene Paare benutzen und zeigen, dass die zwei unterschiedliche Zahlen ergeben.
lule Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
So wenn ich nun die linke seite etwas vereinfache:




Und nun hab ich mir überlegt, der Ausdruck :

kann entweder gerade ( x > n) oder aber = 1 sein ( x = n ).

Der Ausdruck kann aber nur zutreffen, wenn

gilt und dann ist auch y = m denn .

So bald x > n , gilt :

Sei

Daraus folg dann :


und diese Gleichung kann nicht erfüllt werden.
Mit dem Hintergrund, dass das ergebnis eine Natürliche Zahl sein muss.

Und damit wäre man doch dann am ende oder ?
lule Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
*EDIT*
@RavenOnJ
Du hast natürlich recht 2^0 ist nicht gerade, da habe ich nicht aufgepasst.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Du meinst das richtige, ich würde es aber anders ausdrücken. Man sollte nicht schreiben "So bald x > n , gilt ..." (mal abgesehen davon, dass es "sobald" heißt, aber auch dieses temporale Wort ist hier fehl am Platz). Ich würde schreiben:
"Sei o.B.d.A. "
Damit führst du keinen Beweis durch Widerspruch, sondern zeigst, dass diese Annahme zwingend zu x=n führen muss.

Dann schreibst du
Zitat:

Daraus folg dann :


und diese Gleichung kann nicht erfüllt werden.
Mit dem Hintergrund, dass das ergebnis eine Natürliche Zahl sein muss.


Da wäre es dann sinnvoller zu schreiben: "Diese Gleichung kann nur erfüllt werden mit k=0, d.h. x=n, und y=m."

EDIT: Noch eine Anmerkung: Die Annahme kann man auch fallen lassen, dann kann k:= x-n auch negativ sein. Das Ergebnis ist dasselbe, es muss k=0 sein.
---------------------------------
Fehlt dann noch die Surjektivität.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Seien und sei oBdA .

Angenommen, es gilt



Es folgt


Man kann übrigens auch gleich bei



bleiben und mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung argumentieren.
lule Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000
Über die Primfaktorzerlegung würde ich nicht gerne gehen, weil das noch nicht in der Vorlesung war. smile



So aber nun zur Surjektivität.

Ich habe mir gedacht ich teile wieder in gerade/ungerade und sage:

1. Fall ungerade Zahlen.

Sei
Es folgt
durch diesen Ausdruck lassen sich alle natürlichen ungeraden Zahlen darstellen.

2.Fall gerade Zahlen (hier hänge ich etwas)
Ich dachte mir
Es gilt
sei
und

Es folgt

da immer ungerade ist,
können durch
alle geraden Zahlen abgebildet werden.

Bin ich so etwa in der richtigen Richtung ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule
Über die Primfaktorzerlegung würde ich nicht gerne gehen, weil das noch nicht in der Vorlesung war.

Seltsame Begründung: Zumindest was Primfaktor 2 betrifft, brauchst du diese Eindeutigkeit hier - egal welchen Weg du auch immer hier nimmst. unglücklich
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Seltsame Begründung: Zumindest was Primfaktor 2 betrifft, brauchst du diese Eindeutigkeit hier - egal welchen Weg du auch immer hier nimmst. unglücklich


Was mein Problem ist, Primfaktorzerlegung hatten wir noch nicht das ist teil des nächsten Semsters. Deshalb fange ich damit relativ wenig an um ehrlich zu sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule
Was mein Problem ist, Primfaktorzerlegung hatten wir noch nicht das ist teil des nächsten Semsters. Deshalb fange ich damit relativ wenig an um ehrlich zu sein.


verwirrt Bist du sicher, dass ihr das nicht schon behandelt habt? Der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung heißt nicht umsonst "Fundamentalsatz der Arithmetik"! Außerdem dachte ich, dass so was schon in der Schule angesprochen wird.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule
Sei
Es folgt
durch diesen Ausdruck lassen sich alle natürlichen ungeraden Zahlen darstellen.

2.Fall gerade Zahlen (hier hänge ich etwas)
Ich dachte mir
Es gilt
sei
und

Es folgt

da immer ungerade ist,
können durch
alle geraden Zahlen abgebildet werden.


Ehrlich gesagt verstehe ich nicht so ganz, was du da machst. Was soll das mit dem k und dem t?

Es sollte dir eigentlich bekannt sein, dass man jede gerade Zahl als Produkt einer Zweierpotenz (mit Exponent >0) und einer ungeraden Zahl schreiben kann. (Dass dieses Produkt eine eindeutige Zerlegung ist, tut für den Beweis der Surjektivität nichts zur Sache.) Damit wäre der Fisch schon fast gegessen.
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Nein in der Schule haben wir das leider nicht behandelt unglücklich

Und nächstes Semester haben wir Zahlentheorie wo das mit ziemlicher Sicherheit dran kommen wird.

Aber ich kehre erstmal zurück zu Aufgabe.

Mit dem k und dem t wollte ich einfach deutlicher zeigen, dass es sich um eine gerade Zahl handelt.

Du sagst, dass man jede gerade Zahl als Produkt einer Zweierpotenz (mit Exponent >0) und einer ungeraden Zahl schreiben kann.
Wenn ich das aber als gegeben nehme, dann erübrigt sich doch der Beweis oder etwa nicht ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lule

Du sagst, dass man jede gerade Zahl als Produkt einer Zweierpotenz (mit Exponent >0) und einer ungeraden Zahl schreiben kann.
Wenn ich das aber als gegeben nehme, dann erübrigt sich doch der Beweis oder etwa nicht ?


Der Beweis erübrigt sich nicht, aber das wäre er dann im Wesentlichen.
lule Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann bedanke ich mich für eure Hilfe smile Freude

Bis demnächst Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »