Untervektor prüfen

08.08.2015, 16:57

ChrizZly20

Untervektor prüfen

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll bei diesen Aufgaben entscheiden (und begründen), ob U ein Unterraum den Vektorraumes V ist.

a) $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^3, U=[(x,y,z)^T\in \mathbb R ^3; 4z-x+3y=1] \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^3, U=[(x,y,z)^T\in \mathbb R ^3; \frac{1}{2}z=2x] \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^2, U=[(x,y)^T\in \mathbb R ^2; \begin{pmatrix} x-y \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} ] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
b) ist wie ich finde noch recht einfach. Da wäre ja die Basis von U:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keinen ansatz für a und c. b konnte man ja einfach ablesen.

Wie kann ich die a und c lösen?

- ChrizZly20

08.08.2015, 17:15

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Wozu suchst du denn Basen? verwirrt

Du sollst die UVR-Kriterien durchgehen. Außerdem stimmt deine Basis bei b) auch gar nicht. Tut aber wie gesagt nichts zur Sache an dieser Stelle. Und es gibt im Allgemeinen nicht "die" Basis. Davon gibt es i.A. unendlich viele.

08.08.2015, 18:04

ChrizZly20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Ok. Vergessen wir meinen Ansatz.

Ich muss ja erstmal den Untervektor finden. Richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre ja der Unterraum. Wie wende ich nun die Kriterien an?

Die Kriterien sind ja: Addition der Untervektoren und die Multiplikation der Untervektoren. (oder so)

08.08.2015, 18:52

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Das Wort "Untervektor" hab ich ja noch nie gehört. verwirrt

Ehrlich gesagt: Vielleicht wirfst du nochmal einen Blick in deine Unterlagen und versuchst, dich noch etwas in die Materie einzuarbeiten. Oder suchst im Netz die ein oder andere Beispielaufgabe. Denn im Moment scheinen hier noch große Verständnisprobleme vorzuliegen. Was du schreibst, macht im Grunde alles gar keinen Sinn.

Zitat:

Die Kriterien sind ja: Addition der Untervektoren und die Multiplikation der Untervektoren. (oder so)

Sowas ärgert mich dann auch ein wenig. "Oder so"? Lies die Kriterien nach und dann bitte exakt arbeiten.

Meinetwegen kann ich ja mal bei der b) die Addition übernehmen. Bei diesem Kriterium untersucht man, ob man bei Addition zweier Elemente aus U wieder ein Element erhält, das in U liegt. Also ob U abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition ist.

$\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^3, U=[(x,y,z)^T\in \mathbb R ^3; \frac{1}{2}z=2x] \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das, was da steht? In U liegen alle die Elemente, bei denen in der dritten Komponenten des Vektors das Vierfache dessen steht, was in der ersten Komponente steht. Zum Beispiel liegt der Vektor (1,1,1)^T da ganz sicher nicht drin. Ein Beispiel für einen Vektor, der in U liegt, wäre der Vektor (1,0,4)^T. (du hast das falschrum interpretiert). Dieses konkrete Beispiel brauchen wir zur Bearbeitung der Aufgabe nicht, es dient wirklich nur als Beispiel. Vielleicht liest es sich auch einprägender, wenn man stattdessen

$\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^3, U=[(x,y,z)^T\in \mathbb R ^3; 4x=z] \end{eqnarray*}$

schreibt - das ist genau das selbe.

Also nehmen wir uns zwei beliebige Elemente aus U, die nennen wir $\begin{eqnarray*} u_1 = (x_1,y_1,4x_1)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 = (x_2,y_2,4x_2)^T \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ beliebige reelle Zahlen sind (denn wir wollen das allgemein beweisen, also setzen wir keine konkreten Zahlen ein sondern lassen die Einträge beliebig). Diese beiden Vektoren liegen sicherlich in U.

Frage ist: Liegt auch die Summe noch in U?

Bilden wir die Summe mal: $\begin{eqnarray*} u_2 + u_2 = (x_1+x_2,y_1+y_2,4x_1+4x_2)^T = (x_1+x_2,y_1+y_2,4(x_1+x_2))^T \end{eqnarray*}$

Wie bereits gesagt: In U liegen alle die Elemente, bei denen in der dritten Komponenten des Vektors das Vierfache dessen steht, was in der ersten Komponente steht. Der Vektor $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \end{eqnarray*}$ erfüllt dies, wie man sieht, denn in der ersten Komponente steht $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \end{eqnarray*}$ und in der dritten Komponenten das Vierfache davon. Also: $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in U \end{eqnarray*}$ ist erfüllt. Also ist U abgeschlossen bezüglich Vektoraddition.

Abgeschlossenheit bezüglich Skalamultiplikation geht völlig analog. Ferner darf U nicht leer sein, auch dazu ist natürlich noch ein Wort zu verlieren.

a) und c) gehen genau so wie b)

08.08.2015, 19:53

ChrizZly20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Ok,Also die Skalarmultiplikation wäre ja dann:
$\begin{eqnarray*} aU=ax,ay,a4x \end{eqnarray*}$
Also wäre U ein Unterraum.

Und zu (a)
Wie finde ich genau U?ic habe jetzt nach x umgeformt und x=4z+3y-1 bekommen. Aber das hilft mir ja recht wenig.

- ChrizZly20

08.08.2015, 20:59

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Ich weiß nicht, was du mit "Wie finde ich U?" meinst. Du musst U nicht "finden". Was U ist, steht doch oben klar und deutlich.

Zitat:

Original von ChrizZly20
ic habe jetzt nach x umgeformt und x=4z+3y-1 bekommen. Aber das hilft mir ja recht wenig.

Offenbar haben die Vektoren in U die Form (4z+3y-1,y,z)^T. Nimm dir zwei beliebige Vektoren aus U und guck, ob die Summe auch in U liegt. Es ist absolut das gleiche Vorgehen wie in b).

11.08.2015, 09:54

ChrizZly20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
a) wäre also kein Unterraum? da ich bei der addition von (4z+3y-1,y,z)^T in der ersten Zeile folgendes habe:

$\begin{eqnarray*} 4(z_1+z_2)+3(y_1+y_2)-2 \end{eqnarray*}$ und dies wäre durch die 2 kein Unterraum. oder?

und wie würde bei der c) vorgehen? Wie würde ich da genau nach x oder y auflösen?

11.08.2015, 21:31

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Ja, a) ist kein UVR. Was man auch schon auf einen Blick daran sieht, dass der Nullvektor nicht in U liegt. Ohne Nullvektor kann es kein UVR sein. Den braucht es zwingend.

Bei c) schau nochmal genau hin, was da eigentlich steht. Welche Vektoren liegen da überhaupt in U? Das ist eigentlich noch die simpelste von den drei Teilaufgaben. Ich hatte im ersten Moment eigentlich gar einen Schreibfehler vermutet. Wohlgemerkt vermutet, muss nicht so sein.

12.08.2015, 10:34

ChrizZly20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
ok. c) Verwirrt mich glaube ich einfach nur wegen der Schreibweise.
Also: das ist doch eigntl ein LGS. Also: x-y=2 und y=2
Also: y=-2 und x=0
Wäre der Unterraum hier $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Ersteres wäre schon durch die Addition kein Untervektorraum.
Und die zweite Lösung wäre ein UVR?

12.08.2015, 11:15

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe

Zitat:

Original von ChrizZly20
Also: x-y=2 und y=2
Also: y=-2 und x=0

12.08.2015, 13:00

ChrizZly20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Oh. Ja. Natürlich. War mit den Gedanken bei einer anderen Aufgabe.

x=4 und y=2. Und wie würde der Unterraum aussehen? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.08.2015, 13:03

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
Was würdest du denn sagen? (mit Begründung idealerweise)

12.08.2015, 19:29

ChrizZly20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe
eigentlich würde ich sagen, dass es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, da es ein Vektor und kein Raum wäre. Andererseits habe ich aber das LGS eindeutig lösen können.

12.08.2015, 22:56

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektor prüfen klausuraufgabe

Zitat:

Original von ChrizZly20
eigentlich würde ich sagen, dass es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, da es ein Vektor und kein Raum wäre.

Bloß stellt sich die Frage: Was stellt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dar? Die 4 und die 2 sind völlig bedeutungslos. Denn wenn x alle reellen Zahlen durchläuft, tut 4x das völlig analog. 2y ebenso wie y. Wäre also das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Also schon der gesamte $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . (Es ist jetzt mit diesen einzelnen Vektoren deine schludrige Kurzschreibweise, die man hier im Forum vielleicht akzeptieren kann, aber auch wirklich nur hier.)

Zitat:

Andererseits habe ich aber das LGS eindeutig lösen können.

Eben. y muss 2 sein. Steht in der Aufgabenstellung. Folglich muss x also 4 sein. Was für Zweifel kann es dann denn noch geben? In U liegt also nur dieser eine Vektor (4,2), das ist alles. Ist das ein Untervektorraum?

Dass es nur ein Vektor ist, ist nicht der entscheidende Punkt. Ich weiß auch nicht, was du oben mit "Es wäre nur ein Vektor und kein Raum" meinst. Es gibt schließlich z.B. auch den Nullvektorraum, der - wie der Name schon sagt - einfach nur aus dem Nullvektor besteht. Der IST aber immer auch ein (Unter-)Vektorraum. Frage ist nun, ob der Vektor (4,2) auch einen UVR bildet. Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Neue Frage »

Antworten »

Untervektor prüfen

Verwandte Themen