Unendliche Reihen auf Konvergenz prüfen, Summenwert immer bilden?

08.08.2015, 19:51

mathefreakhochzehn

Unendliche Reihen auf Konvergenz prüfen, Summenwert immer bilden?

Meine Frage:

Guten Tag,

Ich verstehe nicht so ganz wie ich genau eine Reihe auf Konvergenz überprüfe.

Muss ich immer erst den Summenwert bilden und diese dann auf Konvergenz mit einem der Kriterien überprüfen oder reicht das Bildungsgesetz?

Ich verzweifle momentan an folgender Reihe:

s= 1+ 4/2! + 9/3! + 16/4! +25/4! +...

Meine Ideen:
Ich komme auf folgendes Bildungsgesetz: an= n^2/n!

Auf die Formel für den Summenwert komme ich nicht. Es wäre toll, wenn mir jemand die Vorangehensweise einmal an dem Beispiel erläutern könnte.

08.08.2015, 20:08

mathefreakhochzehn

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Ich denke die Reihe konvergiert, da sie gegen 0 geht.

Also kann ich jetzt direkt ein Kriterium anwenden und muss nicht den Summenwert bilden?

Anwenden kann ich das Quotienten- und Wurzelkriterium, andere sind mir aber auch in etwa bekannt.

08.08.2015, 20:17

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Ich denke die Reihe konvergiert, da sie gegen 0 geht.

Nun, ich bin mir sicher, du meinst, dass die summierte Folge gegen 0 geht. Das ist aber leider nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe, wie beispielsweise die harmonische Reihe zeigt.

Du sagst, du kennst das Quotientenkriterium. Das ist hier gut geeignet, versuche doch mal, es anzuwenden Augenzwinkern

08.08.2015, 20:25

mathefreakhochzehn

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Okay, also muss ich nur den Summenwert bilden, wenn auch explizit danach gefragt wird. Ich dachte, dass hängt direkt mit der Überprüfung auf Konvergenz zusammen.

Ich komme auf: (n+2)^2/(n+1)*n^2
Kann man daraus direkt die Konvergenz ablesen? Ich kann das nämlich nicht traurig

08.08.2015, 20:32

Guppi12

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Zitat:

Okay, also muss ich nur den Summenwert bilden, wenn auch explizit danach gefragt wird.

Richtig, wenn in der Aufgabenstellung nur nach Untersuchung auf Konvergenz gefragt wird, ist der Reihenwert nicht gesucht.

Zitat:

Ich komme auf: (n+2)^2/(n+1)*n^2

Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2}{n!} \end{eqnarray*}$ den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ berechne, komme ich auf etwas anderes. Kannst du deinen Rechenweg mal ausführen?

(Man kommt aber auf einen sehr ähnlichen Ausdruck.) Was muss denn nun laut Quotientenkriterium für diesen Ausdruck erfüllt sein, damit Reihenkonvergenz vorliegt?

08.08.2015, 20:40

mathefreakhochzehn

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Ich meinte auch: (n+1)^2/(n+1)*n^2
Dafür muss das ganze, kleiner als 1 sein.
Ah, die Potenz im Nenner ist höher als im Zähler, also wird es immer kleiner als 1 bleiben oder?

08.08.2015, 20:46

Guppi12

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Wenn man über die fehlende Klammersetzung hinwegsieht (so, wie du es geschrieben hast, würde man es als $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{n+1}\cdot n^2 \end{eqnarray*}$ lesen), ist es nun richtig, lässt sich aber noch etwas vereinfachen.

Zitat:

Dafür muss das ganze, kleiner als 1 sein.

Nicht ganz. Es muss ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ geben, sodass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \leq q \end{eqnarray*}$ ist. Das ist ein wichtiger Unterschied und beliebter Fehler.

Außerdem muss man eigentlich natürlich den Betrag des Quotienten betrachten, der erübrigt sich aber hier, weil der Ausdruck eh positiv ist.

Das obige muss sogar nicht einmal für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten, es genügt, wenn es ab einer unteren Grenze gilt.

Dies wäre dann die eine Möglichkeit, es gibt aber ein Variante des Quotientenkriteriums, wo man den Grenzwert des Quotienten bestimmt, falls dieser existiert. Falls dir diese Variante bekannt ist, kannst du sie hier natürlich verwenden.

08.08.2015, 20:53

mathefreakhochzehn

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Jetzt sehe ich das auch mit dem Vereinfachen! smile

Nein mir ist das nicht wirklich bekannt, ist das hier oder generell notwendig?

08.08.2015, 20:57

Guppi12

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Nein, es ist nicht notwendig. Du müsstest nun also ein $\begin{eqnarray*} q\in (0,1) \end{eqnarray*}$ angeben, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ für ein fest gewähltes $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . (Mit $\begin{eqnarray*} n_0=1 \end{eqnarray*}$ funktioniert es hier nicht!)

08.08.2015, 21:02

mathefreakhochzehn

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Okay, ja das ist doch auch oft so, dass das für 1 nicht geht.

Ich gebe also einen beliebigen Wert für n an?!

Und dann bin ich fertig?! Dann ist das ja gar nicht so aufwendig wie ich dachte

08.08.2015, 21:05

Guppi12

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Zitat:

Ich gebe also einen beliebigen Wert für n an?!

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob du das richtige meinst. Du musst nur ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ angeben, es dann aber für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigen, die größer/gleich $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sind.

Zitat:

Und dann bin ich fertig?! Dann ist das ja gar nicht so aufwendig wie ich dachte

08.08.2015, 21:10

mathefreakhochzehn

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Gut, dann noch eine blöde Frage: Wie zeige ich das? Also wie schreibt man das auf? Gott

08.08.2015, 21:14

Guppi12

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Wie sieht denn nun dein vollständig vereinfachter Ausdruck aus?

Und geht es nur noch um den Aufschrieb, hast du also schon einen Kandidaten für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gefunden oder steht das auch noch aus?

08.08.2015, 21:17

mathefreakhochzehn

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Erst einmal vielen Dank für die Geduld! smile

Für q habe ich 1, und für n0 habe ich 2.
Mein vereinfachter Ausruck: (n+1)/(n^2)

08.08.2015, 21:20

Guppi12

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Zitat:

Mein vereinfachter Ausruck: (n+1)/(n^2)

Den Bruch kannst du noch auseinanderziehen und dann jeweils kürzen. Das macht das weitere Vorgehen einfacher. Die beiden Teilausdrücke, die du dann dort stehen hast, sind dann nämlich monoton fallend in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Das vereinfacht die Sache erheblich, weil es dann tatsächlich genügt, das ganze für ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ kann es ja nicht mehr größer werden.

$\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ passt nicht, es muss $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ gelten.

08.08.2015, 21:22

mathefreakhochzehn

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Okay, ich verstehe aber nicht wie ich das noch kürzen kann. Das ist immer mein Problem mit dem (n+1)

08.08.2015, 21:28

Guppi12

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Nach dem Auseinanderziehen des Bruches steht dort gar kein $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ mehr. Ist dir klar, was ich mit auseinanderziehen hier meine? Du kannst die beiden Summanden im Zähler ja in zwei Brüche mit gleichem Nenner aufteilen.

08.08.2015, 21:31

mathefreakhochzehn

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Achso ja, bei mir kommt dann jetzt (1/n)+(1/(n^2))
Und daraus folgt dann, das alle für alle n0 größer 1 die reihe konvergiert wenn für q<1 gilt?

08.08.2015, 21:37

Guppi12

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Zitat:

Und daraus folgt dann, das alle für alle n0 größer 1 die reihe konvergiert wenn für q<1 gilt?

Das macht leider überhaupt keinen Sinn. Die Konvergenz der Reihe hängt nicht von der Wahl irgendeines $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ab. Entweder sie konvergiert oder eben nicht. Bei dem Prozess, die Konvergenz zu beweisen, tritt ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auf. Die Reihe divergiert aber nicht plötzlich, nur weil wir $\begin{eqnarray*} n_0=1 \end{eqnarray*}$ oder so gewählt haben, was nicht passt.

Für $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gilt nicht irgendetwas. Du wählst $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ selbst und weist die geforderten Eigenschaften nach.

08.08.2015, 21:40

mathefreakhochzehn

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Alles klar, ich hatte das so verstanden das ich n0 wählen muss aber wahrscheinlich war das so gemeint das ich nur einen allgemeinen Ausdruck festlege?!
Aber ich denke ich werde es nun auch bei der nächsten Aufgabe irgendwie hinkirgen, vielen Dank!

08.08.2015, 21:46

Guppi12

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Du wählst $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ beides fest, also nicht abhängig von irgendwas anderem und zeigst dann, dass $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Dafür müssen natürlich sowohl $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ passend gewählt sein.

Mir scheint wir drehen uns etwas im Kreis, deswegen will ich es dir für dieses Beispiel mal zeigen:

Wir wählen $\begin{eqnarray*} q=\frac{3}{4}<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0=2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4} = q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2=n_0 \end{eqnarray*}$ .

Damit sind wir fertig.

Ist es nun etwas klarer geworden?

08.08.2015, 21:51

mathefreakhochzehn

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Auf jeden Fall! Jetzt habe ich verstanden, wie das genau gemeint war.
Danke!

10.08.2015, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathefreakhochzehn
Ich denke die Reihe konvergiert, da sie gegen 0 geht.

Wie man leicht sieht, kann die Reihe nicht gegen 0 konvergieren, da alle Summanden positiv sind. Augenzwinkern

Was das Quotientenkriterium angeht, so kann man sich das Theater mit q und n_0 sparen, wenn man den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ bildet. Ist dieser kleiner 1, so konvergiert die Reihe. smile

10.08.2015, 09:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathefreakhochzehn
Muss ich immer erst den Summenwert bilden und diese dann auf Konvergenz mit einem der Kriterien überprüfen

Ich versteh nicht so richtig, wie du das meinst: Wenn es dir gelingt, den Summenwert zu berechnen, dann liegt ja Konvergenz vor und du hast überdies auch gleich den Reihenwert, da gibt es nichts mehr hinsichtlich Konvergenz zu beweisen. Bei vielen Reihen ist es indes viel einfacher, nur die Konvergenz zu zeigen, während die Berechnung des tatsächlichen Reihenwertes ungleich schwieriger ist.

Im vorliegenden Fall ist es jedoch möglich und anratsam, den Reihenwert sofort zu berechnen:

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)+n}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} + \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} = 2e \end{align*}$ ,

letzteres mit den Indexverschiebungen k=n-2 und j=n-1. Damit erübrigen sich dann anderweitige Konvergenzbetrachtungen.

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