Matrix, Abbildung, Basis des Kerns und des Bildes

09.08.2015, 14:14

Matherial

Matrix, Abbildung, Basis des Kerns und des Bildes

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende aufgabe zu lösen:
Gegeben sei die Lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi:\mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \Phi (x)= \begin{pmatrix} 5x_3-3x_2+x_1 \\ 2x_1-6x_2+x_3 \\ x_3+\frac{1}{4}x_1-\frac{3}{4}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(a)Geben Sie die Darstellungsmatrix zur Abbildung ? an und bestimmen Sie deren Rang.
(b) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns und des Bildes der Abbildung.

Meine Ideen:
a ist doch trivial, so wie ich es verstanden habe.

Das wäre ja die Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 2 & -6 & 1 \\ \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit den rang=2
Somit dim(ker(A))=1

Dann habe ich Kern= $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Die basis des kerns ist doch der kern, da dim(kern)=1, oder?

Das Bild einer Matrix sind ja praktisch die Einheitsvektoren davon, oder? Wie ist es denn bei der Abbildung?

-Matherial

09.08.2015, 14:35

Helferlein

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RE: Matrix, Abbildung Basis des Kerns & des bildes.

Zitat:

Original von Matherial
Die basis des kerns ist doch der kern, da dim(kern)=1, oder?

Das Bild einer Matrix sind ja praktisch die Einheitsvektoren davon, oder? Wie ist es denn bei der Abbildung?

Da der kern ein Untervektorraum ist, ist er ganz bestimmt nicht seine eigene Basis. Eine Basis besteht nur aus linear unabhängigen Vektoren von denen Du aufgrund der korrekten Dimensionsaussage genau einen ungleich Null benötigst.

Das Bild ist die Menge aller Vektoren, die ein Urbild im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ besitzen. Fomal : $\begin{eqnarray*} Im(\Phi)=\{y\in\mathbb{R}^3|\exists x\in\mathbb{R}^3:\Phi(x)=y\} \end{eqnarray*}$
Aufgrund der Linearität ist das Bild einer Basis gleichzeitig auch Erzeugendensystem des Bildraums.

09.08.2015, 15:51

Matherial

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RE: Matrix, Abbildung Basis des Kerns & des bildes.

Zitat:

Eine Basis besteht nur aus linear unabhängigen Vektoren von denen Du aufgrund der korrekten Dimensionsaussage genau einen ungleich Null benötigst.

Wie komm ich denn auf die Basis? 310 (also der Kern selbst) ist doch linear unabhängig.

Zitat:

Das Bild ist die Menge aller Vektoren, die ein Urbild im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ besitzen. Fomal : $\begin{eqnarray*} Im(\Phi)=\{y\in\mathbb{R}^3|\exists x\in\mathbb{R}^3:\Phi(x)=y\} \end{eqnarray*}$ Aufgrund der Linearität ist das Bild einer Basis gleichzeitig auch Erzeugendensystem des Bildraums.

Ist die Basis eines Bilds äquivalent mit dem Bild einer Basis?

Und auch hier die Frage: Wie komme ich auf das Bild?

09.08.2015, 16:34

Helferlein

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Du solltest dir noch einmal den Unterschied zwischen einem Vektoraum und einer Basis klar machen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist nicht der kern der Abbildung, sondern nur ein Vektor des kerns. Du würdest ja auch nicht behaupten, dass die Zahl 1 dasselbe wie die Menge der reellen Zahlen ist.

Zur zweiten Aussage: Die Basis eines Bildes ist ist nicht dasselbe, wie das Bild einer Basis. Nimm Dir als einfaches Beispiel die Nullabbildung. Das Bild einer Basis würde hier dem Nullvektor entsprechen und kann daher niemals eine Basis sein.
Wie Du auf eine solche Basis kommst hatte ich Dir oben schon geschrieben: Bestimme das Bild einer (x-beliebiegen) Basis des Ausgangsraums (hier $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ) und reduziere es bis Du nur noch linear unabhängige Vektoren vorliegen hast.

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