Hyperfläche Lebesgue-Nullmenge

10.08.2015, 10:55	r4ndom19	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperfläche Lebesgue-Nullmenge Hallo, ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} H=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R ^{3} \| z=0 \right\} \end{eqnarray}$ eine Lesbegue Nullmenge ist. Kann man das folgendermaßen machen: Sei $\begin{eqnarray} K_n=\left\{ (x,y,z) \| \|x\|<n, \|y\|<n, z=0 \right\} \end{eqnarray}$ dann ist K_n für alle n offensichtlich eine L-Nullmenge, da $\begin{eqnarray} \lambda(K_n)=(2n)^20=0 \end{eqnarray}$ Es gilt aber dann auch $\begin{eqnarray} 0\leq \lambda (H) \leq \lambda(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} K_n)\leq\sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 =0 \end{eqnarray}$ Das H in der Vereinigung der K_n enthalten ist (und damit die kleiner gleich Relation gilt) ist leicht zu zeigen. Damit gilt $\begin{eqnarray} \lambda(H) \end{eqnarray}$ Ich frage mich aber dennoch ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, denn damit könnte man ja allgemein sehr lecht zeigen, dass eine beliebige Hyperebene eine Nullmenge ist. (Vorausgesetzt man kennt die Bewegungsinvarianz des L-Maßes)
10.08.2015, 12:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ist alles richtig.

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