(7n^3))^n

10.08.2015, 14:19

Phil121

Konvergenz der Folge (n^(1/n)+1/(7n^3))^n

Meine Frage:
Hallo,
Wie berechne ich die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{7n^3})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ soll die n-te wurzel von n sein, falls ich da jetzt etwas vertauschen sollte mit der Potenz.

Meine Ideen:
Ich habe zuerst den Limes vom inneren Teil bestimmt. Dieser wäre ja 1. Wenn ich das nun hoch n rechne bleibt es 1. Das ist aber falsch.
Nun hatte ich den Gedanken: $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ nähert sich von oben an die eins an und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7n^3} \end{eqnarray*}$ nähert sich vom positiven an die 0 an. Also ist die Summe immer > 1 bis auf eben im unendlichen. Also wäre der Grenzwert jetzt unendlich.

Liege ich da richtig? Und wie könnte ich diesen Gedanken für aufm Blatt in der Klausur formulieren?
Vielen Dank

Phil

10.08.2015, 14:32

Guppi12

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Zitat:

Ich habe zuerst den Limes vom inneren Teil bestimmt. Dieser wäre ja 1. Wenn ich das nun hoch n rechne bleibt es 1. Das ist aber falsch.

Natürlich, denn das partielle Berechnen von Limites ist eben nicht erlaubt, wie dieses Beispiel zeigt.

Zitat:

Nun hatte ich den Gedanken: $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ nähert sich von oben an die eins an und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7n^3} \end{eqnarray*}$ nähert sich vom positiven an die 0 an. Also ist die Summe immer > 1 bis auf eben im unendlichen. Also wäre der Grenzwert jetzt unendlich.

Das ist genauso falsch, wie das oben. Vergleiche mit $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ . Diese Folge divergiert auch nicht.

Nun ein Tipp zur Aufgabe: Klammere $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ aus. Dann solltest du schon etwas erkennen.

Edit: Bin mal raus. Übernimm ruhig.

10.08.2015, 14:34

Matt Eagle

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RE: konvergenz der Folge (n^1/n+1/7(n^3)^n
Versuch doch mal den Ausdruck innerhalb der Klammer nach unten abzuschätzen.
Dabei brauchst Du nicht besonders zimperlich zu sein.

10.08.2015, 14:40

phil121

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RE: konvergenz der Folge (n^1/n+1/7(n^3)^n
Der Ausdruck in der Klammer ist doch immer >= 1

Allein n^(1/n) ist immer>= 1 und dieser Teil wird mit etwas >=0 addiert.

10.08.2015, 14:58

Guppi12

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Ok, dann mache ich doch weiter.

Wie gesagt, vergleiche doch mal mit der Folge $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ . Die selbe Argumentation könntest du hier doch ebenfalls verwenden, diese Folge divergiert aber nicht. Es könnte ja sein, dass der innere Teil so schnell gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, dass der äußere Teil es nicht mehr verhindern kann.

Schau dir doch stattdessen den Beitrag von Matt Eagle oder meinen Tipp nocheinmal an. Beide laufen auf das gleiche hinaus.

10.08.2015, 15:10

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Guppi12
Ok, dann mache ich doch weiter.

Jo, mach mal - ich war ja eh zu spät dran und hatte nicht die Absicht mich einzumischen... :-)

10.08.2015, 15:16

phil121

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ok. vielleicht verstehe ich das nicht ganz. Aber nach unten abgeschätzt ist die klammer ja 1.

Und n^1/n bekomme ich gerade auch nicht ausgeklammert. Das müsste ja $\begin{eqnarray*} n(1+\frac{1}{7n^3n^{\frac{1}{n}}})^n \end{eqnarray*}$
Dies ist aber falsch und ich habe gerade keine Idee wie das richtig mache..

10.08.2015, 15:20

Guppi12

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Zitat:

ok. vielleicht verstehe ich das nicht ganz. Aber nach unten abgeschätzt ist die klammer ja 1.

Das wäre eine mögliche Abschätzung. Die ist allerdings ein wenig zu grob. Jetzt hast du beide Summanden gegen eine Konstante abgeschätzt. Versuche mal, nur einen Summanden abzuschätzen und den anderen beizubehalten.

Zitat:

Und n^1/n bekomme ich gerade auch nicht ausgeklammert. Das müsste ja $\begin{eqnarray*} n(1+\frac{1}{7n^3n^{\frac{1}{n}}})^n \end{eqnarray*}$ Dies ist aber falsc

Wieso soll das falsch sein? Jetzt könntest du den hinteren Faktor abschätzen.

10.08.2015, 15:40

phil121

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Zitat:

Wieso soll das falsch sein? Jetzt könntest du den hinteren Faktor abschätzen.

ok. Dann geht der Teil gegen 1/unendlich, also gegen null, da ich n^3 immer größer wird und n^1/n ist immer >= 1.
Dann müsste ich ja nur noch $\begin{eqnarray*} (n^{\frac{1}{n}})^n \end{eqnarray*}$ haben, was ja gegen unendlich geht, da es immer >=1 ist. richtig?

10.08.2015, 15:54

Guppi12

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Das ist ziemlich verwirrend hingeschrieben, das hier zum Beispiel:

Zitat:

Dann müsste ich ja nur noch $\begin{eqnarray*} (n^{\frac{1}{n}})^n \end{eqnarray*}$ haben, was ja gegen unendlich geht, da es immer >=1 ist. richtig?

macht überhaupt keinen Sinn geschockt

Das hattest du doch außerdem schon zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vereinfacht.

Mal langsam:

Du hast $\begin{eqnarray*} (n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{7n^3})^n = n(1+\frac{1}{7n^3n^{\frac{1}{n}}})^n \end{eqnarray*}$ . Gegen was möchtest du jetzt genau den Faktor $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{7n^3n^{\frac{1}{n}}})^n \end{eqnarray*}$ abschätzen?

10.08.2015, 16:02

phil121

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Ich hatte die Idee den Rechten Teil gegen 0 abzuschätzen. so, dass dann wieder steht n*(1+0)^n
Das sollte ja gehen, da n^3 immer größer wird und n^1/n ja immer größer/gleich 1 ist. Somit ist der gesammte bruch ja 0.
oder?

10.08.2015, 16:36

Guppi12

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Du hast also eine Abschätzung deiner Folge nach unten gegen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

(Das selbe hätten wir bekommen, wenn wir gemäß Matt Eagle gleich am Anfang $\begin{eqnarray*} (n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{7n^3})^n \geq (n^{\frac{1}{n}}+0)^n = n \end{eqnarray*}$ abgeschätzt hätten.)

Was sagt uns das?

10.08.2015, 17:49

phil121

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Die Folge divergiert, für n -> unendlich, da sie ja nach n konvergiert. Und n wäre ja unendlich in dem Fall. Richtig?

10.08.2015, 18:14

Guppi12

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Zitat:

Die Folge divergiert, für n -> unendlich, da sie ja nach n konvergiert.

Verstehe nicht, was du meinst. Dass sie divergiert, ist aber richtig.

Zitat:

Und n wäre ja unendlich in dem Fall. Richtig?

Nein, n ist nicht unendlich.

Vielleicht ist dir ja der Satz bekannt, dass konvergente Folgen beschränkt sind. Damit ließe sich hier nun weiter argumentieren.

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Konvergenz der Folge (n^(1/n)+1/(7n^3))^n

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