Verständnis Hauptachsentransformation

10.08.2015, 20:01	hakuna_mamatha	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnis Hauptachsentransformation Hey liebe community, ich habe eine Frage zur Hauptachsentransformation (also zum Bestimmen eines Kegelschnittes aus einer allgemeinen Gleichung mit gemischtem Anteil). In einem Video - was ich dank diesem Forum nicht verlinken darf - wird erklärt, dass man durch das Ausrechnen der Eigenvektoren der 2x2-Matrix an die Basisvektoren des gedrehten Kegelschnittes kommt. Anschließend muss man nur noch eine Basistransformation (habe ich verstanden) durchführen und schon verschwindet der gemischte Anteil. Allerdings verstehe ich nicht, warum man gerade durch die Eigenvektoren dieser Matrix an die Basisvektoren kommt. Das ergibt für mich schlichtweg keinen Sinn. Für mich ist die 2x2-Matrix, die man durch das Darstellen der Bestimmungsgleichung des Kegelschnittes in Matrixschreibweise bekommt, einfach nur eine Koeffizientenmatrix und keine lineare Abbildung. Warum ist das so? Grüße hakuna_mamatha
11.08.2015, 10:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformiert man eine quadratische Form $\begin{eqnarray} Q=\vec x\cdot A\vec x \end{eqnarray}$ mit der Transformation $\begin{eqnarray} \vec x=C\vec y \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} Q=C\vec y\cdot AC\vec y =\vec y\cdot C^TAC\vec y \end{eqnarray}$ Wenn die Spalten der Matrix C gerade die Eigenvektoren der Matrix A sind, dann gelten folgende 2 Eigenwertgleichungen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_{11} \\ c_{21} \end{pmatrix}=\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} c_{11} \\ c_{21} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_{12} \\ c_{22} \end{pmatrix}=\lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} c_{12} \\ c_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese beiden Gleichungen lassen sich formal zu einer einzigen Matrixgleichung zusammenfassen. $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}}_A\underbrace{\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}}_C=\underbrace{\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}}_C\underbrace{\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}}_{\Lambda} \end{eqnarray}$ Mit dieser Gleichung substituieren wir in der obigen quadratischen Form das Matrixprodukt AC und erhalten $\begin{eqnarray} Q=\vec y\cdot C^TC\Lambda\vec y \end{eqnarray}$ Die Spalten/Zeilen der Matrix C sind die Eigenvektoren von A. Wegen der Symmetrie von A kann man diese Spalten/Zeilen als senkrecht betrachten, so dass das Matrixprodukt $\begin{eqnarray} C^TC \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix E ergibt, also $\begin{eqnarray} C^TC=E \end{eqnarray}$ (bei geeigneter Normierung). Damit vereinfacht sich die quadratische Form zu $\begin{eqnarray} Q=\vec y\cdot \underbrace{C^TC}_E \Lambda\vec y=\vec y\cdot \Lambda\vec y \end{eqnarray}$

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