Basis eines Polynoms

13.08.2015, 17:46

Frageheld

Basis eines Polynoms

hey,

ich bin nur ein wenig verwirrt, ob das so sein kann:

ich soll eine basis vom vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit reellem koeffizienten kleiner gleich 4 bestimmen.

ein polynom dieser art sieht ja so aus:
$\begin{eqnarray*} a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \end{eqnarray*}$

aber was ist ein vektorraum daraus?

zur anschauung habe ich mir einmal die beiden vektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
genommen. daraus könnte ich ja auch eine art polynom bilden, oder?
$\begin{eqnarray*} a+2b=x 2a+3b=x \end{eqnarray*}$

daher kam ich zu dem schluss, dass ich einfach eine 4dimensionale standardbasis, also
$\begin{eqnarray*} \{e_1, e_2, e_3, e_4\} \end{eqnarray*}$
wählen kann.

stimmt meine veranschaulichung? ansonsten verstehe ich die ganze aufgabe nicht... verwirrt

13.08.2015, 17:56

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir noch einmal die genaue und allgemeine Definition eines Vektorraums ansehen. Zwar sind aus der Schule in der Regel Vektoren der Form $\begin{align*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{align*}$ bekannt, diese beschreiben aber (in der Schule) lediglich den 2- oder 3-dimensionalen Anschauungsraum. Das Konzept des Vektorraums ist viel allgemeiner. Einer nette Übersicht über den Begriff des Polynomraums gibt es z.B. auch noch hier.

13.08.2015, 18:10

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, +1 für den link Augenzwinkern

wirklich sehr anschaulich!

eine basis sollte dann ja
$\begin{eqnarray*} B=\{1, x, x^2, x^3, x^4\} \end{eqnarray*}$
sein.
die dimension ist dann natürlich 5 und nicht 4 wie oben geschrieben...

jetzt außerhalb der eigentlichen aufgabe:

auf /wiki/Polynom kann man einige bilder zu einem polynom sehen. auffälig dabei ist ja, dass er aus dem (von der schule bekannten raum und der dimension) die dimension 2 hat, also einfach in ein koordinatensystem gezeichnet werden kann. ist das dann hier ein beispiel, bei der die herkömliche definition von der dimension von der mathematischen abweicht? oder deute ich das falsch?

wie sieht es mit der einordnung aus? ist das polynom ein UR von R?

vielen dank!

ps: warum kann ich keine links einfügen, wenn ich angemeldet bin?

13.08.2015, 18:15

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
auf /wiki/Polynom kann man einige bilder zu einem polynom sehen. auffälig dabei ist ja, dass er aus dem (von der schule bekannten raum und der dimension) die dimension 2 hat, also einfach in ein koordinatensystem gezeichnet werden kann. ist das dann hier ein beispiel, bei der die herkömliche definition von der dimension von der mathematischen abweicht? oder deute ich das falsch?

wie sieht es mit der einordnung aus? ist das polynom ein UR von R?

Was meinst du damit? Das ergibt für mich überhaupt keinen Sinn... verwirrt

Links können erst ab einer bestimmten Beitragszahl gepostet werden, eine Schutzmaßnahme gegen Spambots.

13.08.2015, 22:38

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, egal, passt schon.
scheint heute in der natur der sache zu liegen, dass ich mich nicht akkurat und verständlich ausdrücken kann... liegt wohl an mir oder etwas, das mich beeinflusst?! verwirrt

ich glaube, ich habe es verstanden.

danke dir für deine hilfe! Freude

13.08.2015, 22:46

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich verstehe, was du meinst. Vielleicht kann ich es Iorek erklären.

Es geht glaube ich darum, dass man alle polynomialen Funktionen dieser Art als Graph in der Ebene darstellen kann. Daher wurde eine Analogie zu Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gesehen, weil man diese ja dort ebenfalls darstellen kann (im Gegensatz zum Beispiel zu Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ) und der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist ja zweidimensional.

Meintest du es so?

Bin damit wieder raus, vielleicht möchte Iorek ja noch etwas dazu sagen Augenzwinkern

13.08.2015, 23:11

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

wow... du hast meine hieroglyphen entschlüsselt Augenzwinkern

danke. muss ja zugeben, dass ichs selber nciht mehr so verstanden hätte, wüsste ich nciht, was ich meinte... unglücklich

ja, so meine ich das. gerade in hinsicht auf die dimension. denn diese ist ja bei unserer basis nun 5. wenn man einen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ -raum darstellt, so sollte man aber meinen, dass dieser dimension 2 hat...

Zitat:

Bin damit wieder raus,

schade

gute nacht

14.08.2015, 00:05

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, in diese Richtung hatte ich in der Tat nicht überlegt, danke Guppi. Freude

Da wirfst du zwei ganz verschiedene Konzepte zusammen. Im Sinne der Analysis ist ein Polynom eine Funktion $\begin{align*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots a_1x+a_0 \end{align*}$ . Den Graph dieser Funktion kann man in einem (zweidimensionalen) Koordinatensystem eintragen. Zusätzlich kann man nun Sachen wie die Ableitung betrachten, Hoch- und Tiefpunkte berechnen etc.

Im Sinne der linearen Algebra ist ein Polynom ein Vektor aus dem Raum der Polynome. Ein solcher Vektor entspricht dabei nicht einem Spaltenvektor $\begin{align*} \vec{v}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$ sondern eben einem Polynom, z.B. $\begin{align*} \vec{v}=5x^4+2x^2-x+\sqrt{2} \end{align*}$ . Ein Vektorraum ist eine Menge von Elementen versehen mit einer gewissen Struktur (wir können Vektoren addieren, wir können sie mit einer Zahl multiplizieren und die Vektorraumaxiome sind erfüllt). Dass man ein solches Polynom zeichnen kann und die Zeichnung dann zweidimensional ist, hat mit dem betrachteten Vektorraum aber nichts zu tun.

14.08.2015, 09:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas mehr Obacht bei den Formulierungen:

Zitat:

Original von Frageheld
mit reellem koeffizienten kleiner gleich 4 bestimmen.

So formuliert ist das nicht auf den Polynomgrad oder die Anzahl der Koeffizienten gemünzt, sondern auf die Werte dieser Koeffizienten, d.h. es bedeutet: $\begin{align*} a_k\leq 4 \end{align*}$

14.08.2015, 10:34

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da wirfst du zwei ganz verschiedene Konzepte zusammen.

ok...

ja, ich versuche mir immer alles vorzustellen. das geht manchmal schieft Augenzwinkern

den unterschied zwischen funktion und vektor erklärst du aber super. habe ich verstanden. ich danke euch für eure bemühungen! Freude

Zitat:

So formuliert ist das nicht auf den Polynomgrad oder die Anzahl der Koeffizienten gemünzt, sondern auf die Werte dieser Koeffizienten, d.h. es bedeutet: $\begin{eqnarray*} a_k\leq4 \end{eqnarray*}$

wie ich das verstehe, ist mein polynom per zufall das selbe, aber ich muss eigentlich auf den index $\begin{eqnarray*} k \vert 0\leq k\leq4 \end{eqnarray*}$ achten. habe ich das richtig verstanden?

Neue Frage »

Antworten »

Basis eines Polynoms

Verwandte Themen