Anwendung von Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung von Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Liebe Forumsteilnehmer,

folgend wieder eine gerechnete Aufgabe. Über eine Prüfung der Lösung würde ich mich sehr freuen.

In einer Anlage zur Qualitätskontrolle von Eiern durchlaufen die Eier zwei Durchleuchtungsgeräte.

Gerät A entdeckt einen Defekt mit Wahrscheinlichkeit 70%, Gerät B einen Defekt mit Wahrscheinlichkeit 78%. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geräte den gleichen Defekt entdecken beträgt 50%.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Defekt unentdeckt bleibt.

Hierzu habe ich zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Defekt erkannt wird:



Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Defekt unentdeckt bleibt, sollte dann



sein.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gerät B einen Defekt entdeckt, der von Gerät A nicht entdeckt worden ist.

Wenn man das als Mengendiagramm aufmalt, sieht man, dass man von B den Anteil abziehen muss, den es mit A gemeinsam hat. Daher vermute ich als Lösung:



Könnte das so passen?

Vielen Dank!

KarlTr
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Passt. Freude
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bjoern1982,

vielen Dank für das erneute Kümmern um meine Matheprobleme.

Ich hoffe, ich darf heute noch die eine oder andere gerechnete Aufgabe nachschieben.

Viele Grüße

KarlTr
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich. Wann immer du Fragen hast, einfach posten. Freude
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bjoern1982,

zu dieser Aufgabe habe ich, nachdem ich mich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten beschäftigt habe, noch eine Frage.

Und zwar geht es um den Teil b): Wahrscheinlichkeit, dass B einen Defekt entdeckt, den A nicht entdeckt hat.

Ist Ereignis A nicht so eine Art Bedingung, womit die Regel für die bedingten Wahrscheinlichkeiten ins Spiel käme?





Die Ergebniswahrscheinlichkeit finde ich ziemlich hoch - daher habe ich auch Zweifel an dem Ansatz.

Könntest Du mir hier einen Tipp geben?

Vielen Dank und Gruß

KarlTr
wopi Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wert wird niedriger, wenn du im Nenner der ersten Zeile korrekt P(B) schreibst.

Wink
 
 
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wopi,

vielen Dank für den Hinweis - da habe ich B statt nichtA als Bedingung angegeben.

Ich meinte aber tatsächlich, dass nichtA ("A findet einen Fehler nicht") die Vorbedingung ist.

Mein Hauptproblem ist zu entscheiden, wann man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen darf/muss und wann nicht.

Gibt es da eindeutige Regeln?

Viele Grüße

KarlTr
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KarlTr
Gibt es da eindeutige Regeln?

So gefragt: Nein.

Es gilt, die verwendeten Formulierungen richtig zu deuten: Also immer, wenn eine Vorbedingung geschildert wird und dann nach einer Wahrscheinlichkeit für irgendein Ereignis gefragt wird, wobei das Erfülltsein dieser Vorbedingung angenommen wird.

Das kann mal mehr, mal weniger deutlich artikuliert sein. Der Grat zwischen der Frage nach und ist formulierungsmäßig manchmal ziemlich schmal - mancher Problemsteller scheint sich dessen leider nicht so bewusst.
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

danke für den Hinweis.

Im vorliegenden Fall schwanke ich immer noch zwischen beiden Ansätzen aber nach Deiner Erklärung ist das ja durchaus nicht ungewöhlich.

Wahrscheinlich wird es auch darauf ankommen, dem Aufgabensteller klar aufzuzeigen wie man das Problem verstanden hat und warum man sich für den dann gewählten Lösungsansatz entschieden hat.

Dafür sollte es dann auch den einen oder anderen Punkt geben (hoffe ich).

Viele Grüße

KarlTr
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt hatte ich den Anlass für deine Frage noch gar nicht durchgelesen, was ich hiermit nachhole:


Ich denke bei b) wird mit der Formulierung

Zitat:
Original von KarlTr
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gerät B einen Defekt entdeckt, der von Gerät A nicht entdeckt worden ist.

klar nach der bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt. Darauf weisen u.a. auch die verschiedenen Zeitformen hin: "entdeckt" bei B für die aktuelle Frage nach der Wkt, und "entdeckt worden ist" als in der Vergangenheit liegend (Vorbedingung).

Beispiel für eine Frage nach wäre sowas wie

Zitat:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Defektes, der von Gerät B aber nicht von Gerät A entdeckt wird.



Für ausländische Studenten sicher nicht gerade einfach, wenn selbst Muttersprachler da die Feinheiten nicht immer erkennen. Augenzwinkern
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Mal so als Anhaltspunkt, den ich gern selbst Schülern so mitgebe, eingeworfen:

Auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit deutet hin, wenn der Anteil bestimmter Objekte an einer Teilmenge der Grundgesamtheit gemeint ist.
Beispiel: Untersucht wird der Abiturjahrgang einer Schule. Davon haben 20 % die Leistungskurskombination Mathe und Physik gewählt P(M Ph) = P(Ph M) = 0,2. Sprich: Greife ich aus dem gesamten Jahrgang einen Schüler heraus, so hat dieser mit 20%-iger Wahrscheinlichkeit LK M/Ph.
Heißt es hingegen: 70 % der Schüler, die LK Mathe gewählt haben, wählen auch LK Physik, dann ist P(Ph | M) = 0,7.
Sprich: Ich sortiere aus dem gesamten Jahrgang die Schüler mit LK Mathe aus und ziehe nur aus dieser Teilmenge einen heraus. Dann hat dieser mit 70%-iger Wahrscheinlichkeit LK Ph.

Mit dieser Überlegung, die auch bei der Eieraufgabe funktioniert, sollte man i. d. R. die beiden Wahrscheinlichkeiten abgrenzen können.
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000 und hallo Klauss,

danke für die hilfreichen Hinweise!

Solche eindeutig formulierten Angaben wie bei den Leistungskursen wünscht man sich natürlich.

Viele Grüße

KarlTr
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Da jetzt alles zur Zufriedenheit geklärt ist, schiebe ich mal noch eine dumme Frage hinterher. (In Sachen Wahrscheinlichkeit können von mir nur dumme Fragen kommen Big Laugh !)

Die Lösung der Aufgabe ganz am Anfang kann ich nachvollziehen.
Was wäre denn aber, wenn das Gerät A ein bißchen besser wäre und einen Fehler nicht mit 70 %, sondern mit 75 % Wahrscheinlichkeit entdecken würde? Dann kämen wir bei der Berechnung doch in arge Bedrängnis. verwirrt

Oder ist es so, daß bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten für die Geräte A und B die Wahrscheinlichkeit, daß beide denselben Fehler entdecken, gar nicht kleiner als ... sein kann?
Ich hätte ja sogar gedacht, daß 0,7 * 0,78 = 0,5 ist, aber das ist mit 0,546 leider nicht der Fall...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhyMaLehrer
Oder ist es so, daß bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten für die Geräte A und B die Wahrscheinlichkeit, daß beide denselben Fehler entdecken, gar nicht kleiner als ... sein kann?

So ist es. Tatsächlich gibt es bei gegebenen folgende Schranken für die Wahrscheinlichkeiten von Durchschnitt und Vereinigung:



.

Die Schranken sind scharf in dem Sinne, dass man für jede denkbare Wertekombination entsprechende Ereignisse A,B in passend gewählten Wahrscheinlichkeitsräumen angeben kann, so dass diese Schranken auch angenommen werden.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Das muß ich erst einmal sacken lassen...
Auf jeden Fall vielen Dank und meine Bewunderung! Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dreh- und Angelpunkt dieser Abschätzung ist das wohlbekannte



Bei gegebenen erreicht also sein Minimum/Maximum, wenn sein Maximum/Minimum erreicht. Die zusätzliche Beschränkung der Wkt-Werte auf das Intervall ergibt dann diese Formeln, wobei man noch die Fälle beachtet.
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