Irreduzible Elemente in Polynomenringen |
| 17.08.2015, 10:36 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Irreduzible Elemente in Polynomenringen Hallo zusammen! Ich lerne gerade für eine Matheklausur und mir ist eine Aufgabe über den Weg gelaufen, mit der ich überhaupt nicht zurecht komme. Und zwar ist ein Köper K gegeben und X^5-1 liegt im Polynomring über K mit der Variablen X. Und ich soll jetzt das Polynom in irreduzible Faktoren für verschiedene Körper zerlegen... Meine Ideen: Mein Problem liegt beim Körper der reellen Zahlen...Die Lösung sieht wie folgt aus: Wir haben uns eine fünfte Einheitswurzel genommen, nennen wir sie mal a und wissen, dass wir dann das Polynom über dem komplexen Körper als (x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)(x-a^5)schreiben können und für den Körper der rationalen Zahlen haben wir die Nullstelle X=1 gefunden und mithilfe der Polynomendivision eine Zerlegung gefunden: (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1). Jetzt wäre meine Frage, wie ich auf eine Zerlegung im reellen komme, wir haben daür aufgeschrieben, dass diese wie folgt aussieht: (x-1)(x^2-Re(a)+1)(x^2-Re(a^2)*x+1) Mir ist gar nicht klar, wie ich darauf komme und das Internet hat mir bisher leider auch nicht weitergeholfen...kann mir vll jemand von euch einen Tipp geben? Das wäre super nett! Viele liebe Grüße! |
||||
| 17.08.2015, 10:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Basierend auf würd ich ja eher gemäß dritter binomischer Formel so zerlegen: . P.S.: Du hast wohl eher gemeint? Das käme hin... |
||||
| 17.08.2015, 11:04 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, danke für deine schnelle Antwort, das sieht sehr einleuchtend aus... Bezüglich der Nullstellen über dem rellen Körper ist mir dank Wikipedia noch eine Idee gekommen: Mit dem Fundamentalsatz kann ich doch die NST finden, indem ich einfach (z-erste NST berechne)*(z-die hierzu komplex Konjugierte)... Kann das sein, das die Lösung sogar Fehler hat? Denn ich bin der Meinung, dass Re(a)=1 sein müsste, weil nach dem Ausmultiplizieren der Lösung (ich habe mal angefangen rückwärts zu rechnen) steht (2-Re(a))*x^2 für den Grad 2 und Re(a^2) müsste -1 sein, denn für den Grad 3 steht da ja gerade -Re(a^2)*x^3....aber dann passen die anderen Grade nicht... Hast du generell auch noch eine Idee, wie ich eine Lösung mit Hilfe der Realteile angeben kann? (Denn auf deine Zerlegung muss man in der Klausur ja auch erst einmal kommen...) Vielen lieben Dank! |
||||
| 17.08.2015, 11:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehe letztes P.S.: Es ist sowie und somit . |
||||
| 17.08.2015, 11:18 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, vielen lieben Dank! Ich habe alles verstanden! 
Du hast meinen Tag gerettet! 
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|