Abbildung Abbildungsmatrizen

18.08.2015, 02:19

dermitdemlangen

Abbildung Abbildungsmatrizen

Meine Frage:
Hallo,
es geht um die Aufgabe 1 , Teilaufgabe 4.
Könnte mir jemand einfach mal erklären um was es da überhaupt geht und bitte in normal deutsch, bitte keine definitionen aus wikipedia oder sowas in der Art den die habe ich schon alle durch. Genauso wie die Youtube Videos aus denen ich überhaupt nicht schlau wurde.

Meine Ideen:
Mein Ansatz zunächst wäre die Abbildung von R^3 in R^2 von (4x1 +2x3) (x2-2x1).
Das müsste ja dann so aussehen:
(1/0/0) = (4/-2)
(0/1/0) = (0/1)
(0/0/1) = (2/0)
das wäre doch dann die abbildung aus dem R^3 ins R^2 bezüglich der standardbasis.
Wie geht es nun weiter???
Vielen dank für eure Hilfe

18.08.2015, 08:55

klarsoweit

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RE: Abbildung Abbildungsmatrizen

Zitat:

Original von dermitdemlangen
Das müsste ja dann so aussehen:
(1/0/0) = (4/-2)
(0/1/0) = (0/1)
(0/0/1) = (2/0)
das wäre doch dann die abbildung aus dem R^3 ins R^2 bezüglich der standardbasis.

Klares jein. Zunächst muß es
F(1/0/0) = (4/-2)
F(0/1/0) = (0/1)
F(0/0/1) = (2/0)
heißen. Außerdem sind das nur die Bilder der Standardbasis, nicht mehr und nicht weniger.
Was du aber bestimmen sollst, ist die Abbildungsmatrix der Abbildung F bezüglich der Basen B_2 und B_3, als Kürzel auch so geschrieben: $\begin{eqnarray*} M_{B_3}^{B_2}(F) \end{eqnarray*}$ .

Das geht so: als erstes benennen wir die Basisvektoren der Basis B_2 mit v_1, v_2 und v_3, sowie die Basisvektoren der Basis B_3 mit w_1 und w_2. Dann bildest du von dem ersten Basisvektor der Basis B_2 (also v_1) das Bild F(v_1). Nun stellst du das Bild F(v_1) in der Basis B_3 dar, das heißt, du suchst den Koordinatenvektor (a_1, b_1), so daß $\begin{eqnarray*} F(v_1) = a_1 \cdot w_1 + b_1 \cdot w_2 \end{eqnarray*}$ gilt. Diesen Koordinatenvektor schreibst du in die erste Spalte der Matrix $\begin{eqnarray*} M_{B_3}^{B_2}(F) \end{eqnarray*}$ . Dieses Spiel wiederholst mit den weiteren Basisvektoren der Basis B_2. Dabei kommt der n-te Koordinatenvektor (a_n, b_n) von F(v_n) in die n-te Spalte von $\begin{eqnarray*} M_{B_3}^{B_2}(F) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von dermitdemlangen
bitte keine definitionen aus wikipedia oder sowas in der Art

Aber ein Link muß sein: https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix

18.08.2015, 08:59

Ehos

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Deine Abbildung F lautet in Matrixform

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Darstellung gilt aber nur, wenn sich die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (x_1|x_2|x_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_1|y_2) \end{eqnarray*}$ auf die Standardbasis beziehen, also auf die Basisvektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \vec e_1 & = & (1|0|0) \\ \vec e_2 & = & (0|1|0) \\ \vec e_3 & = & (0|0|1) \end{matrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \,\,\,\begin{matrix} \vec e_1 & = & (1|0) \\ \vec e_2 & = & (0|1) \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist aber dieselbe Abbildung bezüglich neuer Basen, wobei die Transformationen zwischen den alten und den neuen Koordinaten wie folgt gegeben sind (die neuen Koordinaten kennzeichne ich mit einem Strich)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}_{\text{Basis }B_2}\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis }B_3}\begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ersetze mit diesen beiden Gleichungen in der obersten Gleichung die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (x_1x_2|x_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_1|y_2) \end{eqnarray*}$ . Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis }B_3}\begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}_{\text{Basis }B_2}\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um auf der linken Seite die Matrix $\begin{eqnarray*} B_3 \end{eqnarray*}$ zu beseitigen, multiplizieren diese Gleichung auf beiden Seiten mit der Inversen $\begin{eqnarray*} B_3^{-1} \end{eqnarray*}$ .

18.08.2015, 21:30

dermitdemlangen

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Hallo, danke schonmal für eure Hilfe

ich verstehe es immer noch nicht ganz.
Zum Verständnis :
Ich habe eine Abbildung (sprich ein Bild) (4x1 + 2x3/ x2 - 2x1) und das will ich zunächst auf die standardbasis abbilden, also gucken wie dieses Bild in der Standardbasis aussieht, oder ?
Dann sehe ich das es diese "Koordinaten" hat
(4 0 2 )
(-2 1 0 )
Und jetzt möchte ich doch sehen wie diese Abbildung bezüglich der Basis B2 aussieht.
Berechnet sich das dann so ? :
(4 0 2 ) x (1 2 2)
(-2 1 0 ) * y = (1 1 1)
...................... (1 1 2)

man muss ja immer zeile mal spalte machen. das heist 4*x +0*y +2*z = (1 1 1 )
wie soll das denn mit der letzen gehen ?

klarsoweit:
Dann bildest du von dem ersten Basisvektor der Basis B_2 (also v_1) das Bild F(v_1).
wie bilde ich das bild ?

19.08.2015, 09:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von dermitdemlangen
Ich habe eine Abbildung (sprich ein Bild) (4x1 + 2x3/ x2 - 2x1)

Hier fängt das Unverständnis schon an. Eine Abbildung bildet Elemente einer Menge M1 (man nennt diese Elemente auch Urbilder) auf Elemente einer Menge M2 ab (man nennt diese Elemente auch Bilder). Bitte werfe also die Begriffe "Bild" und "Abbildung" nicht in einen Topf.
Folglich ist das:

Zitat:

Original von dermitdemlangen
und das will ich zunächst auf die standardbasis abbilden,

formaler Unsinn. Wie gesagt werden Elemente einer Urbildmenge auf Elemente einer Bildmenge abgebildet. Sofern die Bildmenge ein Vektorraum ist, kannst du natürlich jedes Element der Bildmenge als (eindeutige) Linearkombination von Vektoren aus einer Basis (das kann auch die Standardbasis sein) darstellen.

Zitat:

Original von dermitdemlangen
Dann sehe ich das es diese "Koordinaten" hat
(4 0 2 )
(-2 1 0 )
Und jetzt möchte ich doch sehen wie diese Abbildung bezüglich der Basis B2 aussieht.
Berechnet sich das dann so ? :
(4 0 2 ) x (1 2 2)
(-2 1 0 ) * y = (1 1 1)
...................... (1 1 2)

Der Weg von Ehos geht über eine sogenannte Koordinatentransformation. Sofern du dieses Thema noch nicht hattest, dürften dir ein paar Grundlagen fehlen.

Zitat:

Original von dermitdemlangen
klarsoweit:
Dann bildest du von dem ersten Basisvektor der Basis B_2 (also v_1) das Bild F(v_1).
wie bilde ich das bild ?

Gegenfrage: wie hast du denn Bild des Vektors (1/0/0) berechnet?

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