Konvergenzordnung bei Fixpunktiteration

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telli Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzordnung bei Fixpunktiteration
Meine Frage:
Hallo,

Es geht um die Teilaufgabe d). Ich soll die Konvergenzordnung der beiden Fixpunktgleichungen bestimmen.

[attach]38941[/attach]

Meine Ideen:
Die Konvergenzordnung ist wie folgt definiert:
[attach]38942[/attach]
Also wenn ich an der Stelle x = x_0 das Taylorpolynom entwickle:

so bekomme ich für i = 3

nun soll ich zeigen, dass

Ich habe mal die Betragsfunktionen (links und rechts für L=1) plottet:
[attach]38943[/attach]
Grafisch lässt sich bestätigen, dass in der Nähe von x_0 eine lineare Konvergenz vorliegt. Verstehe ich das überhaupt richtig, heisst hier "lokale Konvergenz" nur in einem bestimmten Intervall? z.B [0,5]?
Wie kann ich nun analytisch zeigen, dass auch wirklich ein L wie beschrieben existiert? Muss ich dazu die Ungleichung explizit lösen?
Nach einigen Umformungen bekomme ich so etwas:

Ich nehme den Grenzfall L = 1.
Dann ist

Ich löse die Gleichungen für -1 und 1 und bestimme die Grenzen. Das heisst für

existiert ein L mit L = 1 so dass

gilt. Und somit eine lineare Konvergenz vorliegt.

Stimmt das was ich mache? Geht das irgendwie auch einfacher?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stell doch bei d), 1.Teil die Verbindung zu c) her:

Für differenzierbare mit Fixpunkt gilt ja nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung



mit aus dem Intervall zwischen und . Für lokale lineare Konvergenz genügt es gemäß (*) also zu zeigen, dass in einer Umgebung von betragsmäßig kleiner als 1 ist.
 
 
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Zitat:
Für lokale lineare Konvergenz genügt es gemäß (*) also zu zeigen, dass in einer Umgebung von betragsmäßig kleiner als 1 ist.


Da steht aber ausdrücklich mit Taylorentwicklung? und wie wähle ich die Umgebung aus? Die scheint ja beliebig zu sein..
Okay also es gilt ja vorerst:

dann ist

und somit


Was ist jetzt konkret die Aussage?
Etwa: "Es existiert ein L = 1 und somit ein Intervall [0,5] auf dem die Fixpunktgleichung die Bedingung (Definition) erfüllt. D.h die Fixpunktgleichung konvergiert lokal linear auf dem Intervall [0,5]"
Mit "lokal" meint man jetzt innerhalb von [0,5] und nirgends sonst oder?


Und bei soll noch die quadratische Konvergenz gezeigt werden d.h. ich muss

zeigen oder? Ich habe hier die Ableitung an der Stelle x* gebildet, oben wars mit epsilon. Kann ich das so direkt machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von telli
Zitat:
Für lokale lineare Konvergenz genügt es gemäß (*) also zu zeigen, dass in einer Umgebung von betragsmäßig kleiner als 1 ist.

Wenn ich etwas nicht ausstehen kann, dann ist es Zitatfälschung: Ich habe von einer Umgebung von gesprochen, deinem Fixpunkt - nicht von einem , was gedanklich ja immer "nahe Null" suggeriert. böse
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Ok jetzt weiss ich, dass du Zitatfälschung nicht ausstehen kannst.
Sieh mal weiter unten:
Zitat:

Epsilon ist im Intervall [x_n,x*].

Ich denke ich habs verstanden, danke für deine Hilfe.
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