Konvergenzordnung bei Fixpunktiteration |
19.08.2015, 02:11 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenzordnung bei Fixpunktiteration Hallo, Es geht um die Teilaufgabe d). Ich soll die Konvergenzordnung der beiden Fixpunktgleichungen bestimmen. [attach]38941[/attach] Meine Ideen: Die Konvergenzordnung ist wie folgt definiert: [attach]38942[/attach] Also wenn ich an der Stelle x = x_0 das Taylorpolynom entwickle: so bekomme ich für i = 3 nun soll ich zeigen, dass Ich habe mal die Betragsfunktionen (links und rechts für L=1) plottet: [attach]38943[/attach] Grafisch lässt sich bestätigen, dass in der Nähe von x_0 eine lineare Konvergenz vorliegt. Verstehe ich das überhaupt richtig, heisst hier "lokale Konvergenz" nur in einem bestimmten Intervall? z.B [0,5]? Wie kann ich nun analytisch zeigen, dass auch wirklich ein L wie beschrieben existiert? Muss ich dazu die Ungleichung explizit lösen? Nach einigen Umformungen bekomme ich so etwas: Ich nehme den Grenzfall L = 1. Dann ist Ich löse die Gleichungen für -1 und 1 und bestimme die Grenzen. Das heisst für existiert ein L mit L = 1 so dass gilt. Und somit eine lineare Konvergenz vorliegt. Stimmt das was ich mache? Geht das irgendwie auch einfacher? |
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19.08.2015, 09:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stell doch bei d), 1.Teil die Verbindung zu c) her: Für differenzierbare mit Fixpunkt gilt ja nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung mit aus dem Intervall zwischen und . Für lokale lineare Konvergenz genügt es gemäß (*) also zu zeigen, dass in einer Umgebung von betragsmäßig kleiner als 1 ist. |
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19.08.2015, 13:28 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Antwort.
Da steht aber ausdrücklich mit Taylorentwicklung? und wie wähle ich die Umgebung aus? Die scheint ja beliebig zu sein.. Okay also es gilt ja vorerst: dann ist und somit Was ist jetzt konkret die Aussage? Etwa: "Es existiert ein L = 1 und somit ein Intervall [0,5] auf dem die Fixpunktgleichung die Bedingung (Definition) erfüllt. D.h die Fixpunktgleichung konvergiert lokal linear auf dem Intervall [0,5]" Mit "lokal" meint man jetzt innerhalb von [0,5] und nirgends sonst oder? Und bei soll noch die quadratische Konvergenz gezeigt werden d.h. ich muss zeigen oder? Ich habe hier die Ableitung an der Stelle x* gebildet, oben wars mit epsilon. Kann ich das so direkt machen? |
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19.08.2015, 14:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich etwas nicht ausstehen kann, dann ist es Zitatfälschung: Ich habe von einer Umgebung von gesprochen, deinem Fixpunkt - nicht von einem , was gedanklich ja immer "nahe Null" suggeriert. |
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20.08.2015, 00:39 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok jetzt weiss ich, dass du Zitatfälschung nicht ausstehen kannst. Sieh mal weiter unten:
Epsilon ist im Intervall [x_n,x*]. Ich denke ich habs verstanden, danke für deine Hilfe. |
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