Dimension vom Schnitt zweier Unterräume

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Dimension vom Schnitt zweier Unterräume
hey matheprofis!

ich habe zwei UVR von gegeben. ich soll eine basis von schnitt berechnen.
dazu wollte ich wissen, welche dimensions dieser hat...

ich habe da an die formel gedacht.

ist das das richtige vorgehen? nur habe ich das problem, dass ich nicht weiß, wie ich die dimension von von der Addition berechne.

kann mir da jemand helfen?
vielen dank im voraus!
lg
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du es mit der Dimensionsformel machen möchtest, solltest Du ausnutzen, dass der Summenraum von der Vereinigung der Basen erzeugt wird.

Eventuell wird es aber einfacher, wenn Du einfach nur mit den Basen der beiden Unterräume und ein wenig "spielst", sprich sie in eine Form bringst, die ein Vergleichen ermöglicht. Basisvektoren des Schnitts müssen ja in beiden Unterräumen liegen.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke für deine antwort.

machen wir mal das "einfachere" Augenzwinkern ich muss also erst für jeden UVR eine absis aufstellen.

außerdem ist es vlt sinnvoll, etwas konkreter zu werden:



ich möchte zuerst an einem bespiel etwas herumreden... also: nehmen wir der anschuung halber einen UVR des R^2, wobei die bedingung x-2y=0 gegeben ist.

hier muss ich ja eine matrix aufstellen wie diese: . das ist eine ausreichende basis. ich habe also im vergleich zum R^2 eine dimension verloren.

stimmt das soweit? ich müsste also in dieser art auch im R^4 eine basis aufstellen; wenn ich pro UVR je eine bedingung habe, dann habe ich also bei jedem die dimension = 3, die basis muss also drei vektoren beinhalten.


was diese sind fällt mir nun bei meiner aufgabe schwer:

zwei UVR im R^4 mit dem Vektor :

mit Bedingung und
mit Bedingung .

ich muss also für jeden UVR eine basis erstellen, die diese vektoren enthält:
für : und
für : .

jede basis benötigt nun noch zwe vektoren dazu um dim = 3 zu erfüllen. das könnten vektoren der standardbasis sein. aber wie in dem oberen beispiel gezeigt, müsste ich ja gar keine weiteren vektoren hinzufügen, da ich keine zeile habe, in der nur 0-en sind. wo ist da der fehler?


wenn ich beide bedingungen für den schnitt in eine basis packe, muss ich zuerst auf lineare unabhängigkeit prüfen, und ich meine, dass diese beiden vektoren linear abhängig sind. also fliegt einer raus. welche dimension hat dann diese basis, also wie viele vektoren muss ich hinzufügen?

lg
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Leider ist kein einziger der drei von Dir genannten Vektoren in dem entsprechenden UVR. Wie sollte es da ein Basiselement sein?

Welche Lösung besitzt zB. die Gleichung x-2y=0? Doch sicher nicht x=1 und y=2.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie sollte es da ein Basiselement sein?

magie? verwirrt

also: du hast natürlich recht...

ich habe mir jetzt folgendes gebastelt:
für : und
für : .

geht das so auf? ich habe das jetzt so gelöst, dass ich möglichst viele 0-en habe, ohne dass alles 0-en sind. ist das so schlau? dann könnte ich ja für jeden e_3 und e_4 ergänzen, um eine basis zu erhalten... die hätte dann dimension = 3, ich hätte also für eine bedingung eine dimension verbraucht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt clever, hat aber den Haken, dass weder der dritte noch der vierte Einheitsvektor die Gleichung löst.
Du musst schon zwei andere Vektoren ergänzen.
 
 
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

mh. ok. ich dachte folgendes:

man hat ja zu jedem R^n eine basis wie e_1 bis e_n... wenn ich nun eine bedingung habe, dann müsste ich diese in einen vektor packen, die anderen bleiben erhalten. weiß nicht warum, habe das nur in irgendeinem video im internet gesehen...

ich kann also keine einheitsvektoren nutzen, da die nicht die bedingung erfüllen...
was soll ich dann verwenden? ich könnte ja z.b. welche verwenden, die auch die gleichung erfüllen, wie
und aber die sind ja offensichtlich als basis mit den anderen lin. abhängig, oder? können also kein kandidat für eine basis sein.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
ich könnte ja z.b. welche verwenden, die auch die gleichung erfüllen,

Du kannst die nicht nur verwenden, Du musst sie verwenden. Eine Basis besteht per se nur aus Elementen, die sich in dem Unterraum befinden. Ansonsten würde es doch Vektoren im Erzeugnis geben, die nicht zum Unterraum gehören.

Zitat:
Original von Frageheld
aber die sind ja offensichtlich als basis mit den anderen lin. abhängig, oder? können also kein kandidat für eine basis sein.


Wieso sollten die linear abhängig sein verwirrt
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn einer der beiden ein Vielfaches des anderen ist und das ist hier ziemlich offensichtlich nicht der Fall.
Du brauchst insgesamt drei Vektoren je Vektorraum, da Du nur eine Bedingung hast, aber viel Variablen.


Ab hier kann ich Dir leider nicht mehr weiterhelfen, da ich morgen früh in Urlaub fahre und dort nur eingeschränkt Internet haben werde. Sicherlich wird sich jemand anderes finden, der Dir weiterhelfen kann.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

nehmen wir an, ich nehme die vektoren (in V_2):




dann ergibt sich ja die matrix
wenn ich diese nach gauß auflöse, dann ergibt das eine nullzeile, die vektoren sind linear abhängig.

ich muss ja vektoren wählen, die an zwei stellen ungleich 0, denn sonst, kann ich die gleichung nicht erfüllen. aber solange ich das so mache, werde ich immer eine nullzeile nach gauß erhalten verwirrt

@helferlein
viel freude im urlaub und danke für deine hilfe Freude
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir bitte jemand weiterhelfen?...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
nehmen wir an, ich nehme die vektoren (in V_2):




dann ergibt sich ja die matrix
wenn ich diese nach gauß auflöse, dann ergibt das eine nullzeile, die vektoren sind linear abhängig.

ich muss ja vektoren wählen, die an zwei stellen ungleich 0, denn sonst, kann ich die gleichung nicht erfüllen. aber solange ich das so mache, werde ich immer eine nullzeile nach gauß erhalten verwirrt



Ich habe jetzt nicht den ganzen Thread gelesen. Allerdings sehe ich da eine -Matrix. Diese hat maximal Rang 3, eine Zeile kann also immer in eine Nullzeile umgeformt werden. Dies heißt nicht, dass die drei Spaltenvektoren linear abhängig sind. Nur die 4 Zeilenvektoren sind linear abhängig, was auch klar ist, da sie sich in einem 3-dimensionalen Raum befinden.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke für die antwort Freude

ich habe dann wohl etwas bei der linearen unabhängigkeit nicht verstanden. ich dachte, dass die vektoren linear abhängig sind, wenn das lgs eine nullzeile enthält. mir war nicht klar, dass dies nur bei quadratischen matrizen möglich zu sein scheint...:
Zitat:
Da die 3. Zeile in unserem Beispiel ausschließlich aus Nullen besteht, sind die drei Vektoren linear abhängig.
(von hier)

wie prüfe ich dann die lineare unabhängigkeit?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld

wie prüfe ich dann die lineare unabhängigkeit?


Indem du prüfst, ob eine Spalte zur Nullspalte umgeformt werden kann.

Edit: Du kannst auch die Determinante der -Matrix, beispielsweise bestehend aus den ersten drei Zeilen, berechnen. Bei linearer Unabhängigkeit der Spalten darf diese Determinante nicht 0 werden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
ich habe dann wohl etwas bei der linearen unabhängigkeit nicht verstanden. ich dachte, dass die vektoren linear abhängig sind, wenn das lgs eine nullzeile enthält. mir war nicht klar, dass dies nur bei quadratischen matrizen möglich zu sein scheint...:
Zitat:
Da die 3. Zeile in unserem Beispiel ausschließlich aus Nullen besteht, sind die drei Vektoren linear abhängig.
(von hier)


Vielleicht solltest du den Artikel noch mal genauer lesen. Die Aussage mit der Nullzeile gilt nur für quadratische Matrizen. Nur diese werden dort behandelt. Wenn du vier Vektoren aus einem 3-dimensionalen Raum nimmst, dann sind diese natürlich linear abhängig. Steht auch in dem Artikel.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

also kann ich gauß auf spalten ausführen? oder eben die determinante...

mal zur veranschualichung: ich habe einen vektor der größe 4: ich gehe also in 4 unterschiedliche richtungen. nur dass ich aufgrund meiner neuen basis im 3-dimensionalen raum bin, der nur 3 dimensionen bereitstellt. was passiert dann mit der einen dimension in jedem vektor?
wenn ich die determinante berechne, wie du sagst, also einfach drei zeilen heruasnehme, dann heißt dass, dass eine dimension irgendwie "verloren" geht. ist ja klar. aber welche ist das dann?

vielen danke für deine mühe! Freude
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
also kann ich gauß auf spalten ausführen? oder eben die determinante...


Es geht doch darum, Zahlen zu finden, nennen wir sie mal , die mit den drei Vektoren multipliziert in der Summe 0 ergeben:


Ist hier nur die Lösung möglich, dann sind die Vektoren linear unabhängig.

Zitat:

mal zur veranschualichung: ich habe einen vektor der größe 4: ich gehe also in 4 unterschiedliche richtungen. nur dass ich aufgrund meiner neuen basis im 3-dimensionalen raum bin, der nur 3 dimensionen bereitstellt. was passiert dann mit der einen dimension in jedem vektor?
wenn ich die determinante berechne, wie du sagst, also einfach drei zeilen heruasnehme, dann heißt dass, dass eine dimension irgendwie "verloren" geht. ist ja klar. aber welche ist das dann?


Du hast, ehrlich gesagt, eine für meinen Geschmack etwas seltsame Ausdrucksweise für diese mathematischen Zusammenhänge. Was meinst du mit "ich gehe also in 4 unterschiedliche richtungen"? Oder mit "nur dass ich aufgrund meiner neuen basis im 3-dimensionalen raum bin"? Oder "dass eine dimension irgendwie "verloren" geht"?

Ich habe übrigens nicht geschrieben, dass du "drei Zeilen herausnehmen sollst", sondern eine, damit eine quadratische -Matrix betrachtet werden kann. Warum gehst das? Weil du durch die Zeilenumformungen, mit denen du letztendlich zu einer Matrix mit einer Nullzeile kommst (wobei der Rest unverändert bleiben kann), zu einer anderen Basis übergehst, in der eine Komponente der drei Spaltenvektoren immer 0 ist. In Richtung eines bestimmten Basisvektors sind diese Vektoren also alle 0. Es reicht also den Unterraum zu betrachten, der aus den drei anderen Basisvektoren aufgebaut wird. Deine drei Vektoren liegen in diesem Unterraum.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hast, ehrlich gesagt, eine für meinen Geschmack etwas seltsame Ausdrucksweise für diese mathematischen Zusammenhänge.

mh, ja... ich versuche es besser zu machen... du hast dennoch - aus deiner erklärung geschlossen - verstanden, was ich meinte... Wink

Zitat:
Ich habe übrigens nicht geschrieben, dass du "drei Zeilen herausnehmen sollst", sondern eine, damit eine quadratische 3×3-Matrix betrachtet werden kann. Warum gehst das? Weil du durch die Zeilenumformungen, mit denen du letztendlich zu einer Matrix mit einer Nullzeile kommst (wobei der Rest unverändert bleiben kann), zu einer anderen Basis übergehst, in der eine Komponente der drei Spaltenvektoren immer 0 ist. In Richtung eines bestimmten Basisvektors sind diese Vektoren also alle 0. Es reicht also den Unterraum zu betrachten, der aus den drei anderen Basisvektoren aufgebaut wird. Deine drei Vektoren v1,v2,v3 liegen in diesem Unterraum.

getestet, verstanden und supi, danke für die erklärung!

dann kann ich jetzt für die UVR je eine basis aufstellen. was mache ich dann mit diesen basen um den schnitt zu erhalten? intuitiv würde ich die basen der beiden UVR in eine matrix schmeißen und einmal "gaußen". dann hätte ich ja das, was für beide gilt als linear unabhängige vektoren die eine basis bilden, oder?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld

dann kann ich jetzt für die UVR je eine basis aufstellen. was mache ich dann mit diesen basen um den schnitt zu erhalten? intuitiv würde ich die basen der beiden UVR in eine matrix schmeißen und einmal "gaußen". dann hätte ich ja das, was für beide gilt als linear unabhängige vektoren die eine basis bilden, oder?


Im Prinzip richtig - solange du weißt, was du tust.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Im Prinzip richtig - solange du weißt, was du tust.

klingt gefährlich...

wie würdest du es mir empfehlen?

nehmen wir an, ich habe die basen


wobei







dann kann man dem mit gauß eher wenig anhaben...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht hier alles etwas durcheinander. Ich greife einmal dein eigenes Beispiel von vorhin auf. Die Unterräume waren durch jeweils eine lineare Gleichung bestimmt, nämlich





Wir sind im vierdimensionalen Raum. Sowohl als auch haben damit die Dimension 3, eben weil sie durch 1 (unabhängige) lineare Gleichung in ihren Koordinaten bestimmt werden:

Der Durchschnitt enthält nun genau diejenigen Elemente, die zugleich in und liegen, also beide lineare Gleichungen zugleich erfüllen. Mit anderen Worten: Die Elemente des Schnitts müssen das lineare Gleichungssystem aus den beiden obigen Gleichungen erfüllen. Wir müssen also nur dieses Gleichungssystem lösen. Das kann man mit dem Gaußschen Algorithmus erledigen. Addiert man etwa die erste Gleichung zum 3-fachen der zweiten, so hat man schon die Stufenform (die zweite Gleichung wird zuletzt noch durch 7 dividiert):





Beim Gaußschen Algorithmus ist keine Gleichung verschwunden. Wir haben somit in der Stufenform zwei unabhängige Gleichungen. Die Lösungsmenge, also der Schnitt , hat somit die Dimension .
Wir können in frei wählen, etwa . Dann ergibt sich . Mit den Ausdrücken gehen wir in und erhalten nach Division durch 3 die Gleichung



Es verbleibt eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten . Also können wir eine frei wählen, etwa . Setzt man das ein und löst man nach auf, bekommt man



Und jetzt schreiben wir die Unbekannten noch einmal schön geordnet nach den Parametern auf:



Oder in Vektorschreibweise:



Und die beiden Vektoren auf der rechten Seite sind eine Basis von .

Wenn man das ganze theoretische Brimborium wegläßt und die Aufgabe auf ihren Kern reduziert, läuft es also auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems hinaus. Wie übrigen bei 97,3 % aller Aufgaben der Linearen Algebra I.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold

vielen dank für deine ausführliche erklärung! hat geholfen. habe das ganze jetzt einmal für mich gerechnet und argumentiert, ich komme bei einem richtigen ergebnis raus und habe es glaube ich verstanden. ist eigentlich ja gar nicht so schwer Tanzen
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Wenn man das ganze theoretische Brimborium wegläßt und die Aufgabe auf ihren Kern reduziert, läuft es also auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems hinaus.


Deine Vorgehensweise ist zwar zielorientierter, wohl auch im Hinblick auf das Vorgehen in Prüfungen angemessener, läuft aber auf die ingenieursmäßige Anwendung von Kochrezepten raus. Inwieweit diese Vorgehensweise allein das Verständnis der Mathematik in Vektorräumen fördert, kann man bezweifeln. Ich bevorzuge die Herangehensweise übers Verständnis, auch bildlich und geometrisch, die gedankliche Durchdringung des Stoffes, weniger die pure Rechnerei. Letztendlich muss natürlich gerechnet werden, aber die Vorarbeit am Verständnis sollte man meiner Meinung nach nicht überspringen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das ganz anders. Wenn Frageheld meinen Beitrag gut durchgearbeitet hat, dann sollte er verstanden haben, daß

- Schnittbildung das gleichzeitige Eintreten von Eigenschaften bedeutet (Parallelität von und )

- wenn diese Eigenschaften durch lineare Gleichungen ausgedrückt werden, die Schnittbildung auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems hinausläuft

Und das ist es, worum es in dieser Aufgabe geht. Hier mit irgendwelchen Definitionen der linearen Unabhängigkeit oder gar Determinanten zu kommen, halte ich nicht für zielführend. Da sehe ich eher das Kalkülhafte, das Drauflosrechnen, ohne zu wissen, was man tut.
Allerdings könnte man jetzt nachträglich weitere Dinge klären. Ich habe zum Beispiel behauptet, daß in meiner letzten Gleichung die beiden Vektoren rechts eine Basis des Schnittraumes bilden. Warum eigentlich? Das könnte man jetzt anhand der Definition einer Basis überprüfen. Oder abstrakter: Warum garantiert das vorgeschlagene Verfahren, daß man in der Situation der Aufgabe immer eine Basis des Schnittraumes erhält?
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder abstrakter: Warum garantiert das vorgeschlagene Verfahren, daß man in der Situation der Aufgabe immer eine Basis des Schnittraumes erhält?


es ist mir klar, dass beide bedingungen erfüllt sein müssen. das ist ja wie bei mengen, bei denen ich den schnitt berechne. das sind gerade die elemente, die in den beiden ausgangsmengen vorkommen.
in unserem beispiel haben wir also zwei VR, also eine menge von vektoren. diejenigen vektoren, die in den beiden VR sind gehören zum schnitt.
wen ich also die beiden bedingungen nehme und in ein LGS setze, dann bestimme ich, dass beide bedgingungen erfüllt sein müssen.
im gauß verfahren werden linear abhängige zeilen immer eliminiert. in unserem beispiel kürzt sich keine bedingung, daher sind die beiden bedingungen nicht äquivalent. was ich bei gauß erhalte ist immer linear unabhängig. daher kann dies eine basis sein.

wenn es mir als der lernende gestattet ist, hier meine meinung zu sagen: ich persönlich lerne gerne an beispielen, die ich dann abändern kann. wenn ich diese verstanden habe, ist es nciht mehr schwer, zu abstrahieren. wenn man am anfang abstrakt anfängt, mag das auch sehr hilfreich sein, vlt jedoch erst ab einem gewissen startkapital an wissen...
nur meine eigene erfahrung...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold
Da bin ich wohl zu wenig Pädagoge und beuge mich deinem Urteil.

@Frageheld
So mache ich es eigentlich auch in solchen Fällen. Einfache Beispiele, dann schwierigere. Am Schluss die Abstraktion. Mir war nicht ganz klar, was du schon verstanden hattest und was nicht.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

was würde ich denn machen, wenn ich nicht mit dem schnitt sondern mit der vereinigung rechnen sollte, also dem oder. dann muss ja nur eine von den beiden gleichungen gelten. intuitiv gesagt hätte ich dann dimension = 3.
wie stelle ich eine basis auf? ich weiß nicht, ob das ginge, aber ich würde einfach zwei basisvektoren des einen UVRs mit einem anderen vektor des anderen UVR in eine menge packen. dann hätte ich drei dimensionen und allgemein beide bedingungen erfüllt. wenn einer von den 3 oder zwei davon 0, dann bin ich gerade in einem unterraum.?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde jetzt beispielsweise die Anschauung im helfen. Die Vereinigung zweier UVR mit Dimension 1 ist i.d.R.kein UVR von . Was anderes wäre die Summe zweier UVR, also jedes Element des einen wird zu jedem Element des anderen UVR addiert. Diese Gesamtmenge ist wieder ein UVR. Die Vereinigung der Basen der beiden UVR wäre ein Erzeugendensystem des Summen-UVR.

Summe von Untervektorräumen (wikipedia)
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Diese Gesamtmenge ist wieder ein UVR. Die Vereinigung der Basen der beiden UVR wäre ein Erzeugendensystem des Summen-UVR.

wenn ich zweimal dimension 1 habe, dann ist also die summe dimension 2?

und in meiner aufgabe oben ist die summe die vereinigung von zwei basen mit dimension 3, vorausgesetzt, dass sie linear unabhängig sind? also könnte der UVR bis zu dimension 6 haben?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension vom Schnitt zweier Unterräume
Zitat:
Original von Frageheld
ich habe da an die formel gedacht.


Dann denk mal wieder an diese Formel. Von den vier Gliedern sind drei bekannt. Berechne das vierte.
Ein Unterraum kann nie eine größere Dimension haben als der Raum, dessen Unterraum er ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld
und in meiner aufgabe oben ist die summe die vereinigung von zwei basen mit dimension 3, vorausgesetzt, dass sie linear unabhängig sind? also könnte der UVR bis zu dimension 6 haben?


Mach dir mal den Unterschied zwischen Basis und Erzeugendensystem klar. Letzteres kann beliebig viele Vektoren enthalten, eine Basis nur soviele, wie der Vektorraum Dimensionen hat.
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