Zufallsvariablen in L4 - Borel Cantelli 1 anwenden

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen in L4 - Borel Cantelli 1 anwenden
Meine Frage:
Hallo Leute,

im Beweis des Gesetzes der großen Zahlen, den ich in meinem Skript habe hat man angenommen, dass die Zufallsvariablen in sind, das vereinfacht den Beweis ja ein wenig. An einer Stelle bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig verstehe, deshalb frage ich hier mal nach. Ich habe den Beweis teilweise hier gepostet, dass man es besser nachvollziehen kann, was ich mache. Vielen Dank für die Hilfe und fürs Lesen smile

Meine Ideen:
Also Seien eine Folge von Zufallsvariablen und

O.B.d.A. kann man annehmen, sonst geht man einfach zu über.

Nun betrachte ich die Menge Dabei ist

Nun wende ich die Markov - Ungleichung an mit . Dies liefert die folgende Abschätzung:



Nun ist mein Ziel später Borel Cantelli 1 anzuwenden. Dafür muss ich nun zeigen, dass gilt:



Es gilt mit dem bereits gezeigten:



Nun ist es doch so, dass durch die Annahme gilt, dass auch in ist. Denn die - Räume erfüllen ja die Dreiecksungleichung (die hier auch Minkowski - Ungleichung heißt) In diesem Fall weiß ich aber sofort, dass die zentrierten Momente bis Grad 4 existieren (d.h. sie sind endlich). Also gilt:



Genau das ist meine Frage smile stimmt diese Begründung???

Wenn nämlich ja, dann kann ich so weiter machen:

für alle also gilt:



und (*) gilt, weil eine konvergente Reihe darstellt.

Ausgehend davon ist der Beweis dann nicht mehr schwer, aber ich poste ihn jetzt nicht komplett hier rein, da es nur ob das obige im Grunde geht.

Also die Frage war nur ob die Begründung über die Räume schon ausreicht.

Vielen Dank für die Hilfe smile

EDIT: Ich würde das ganze vielleicht noch so begründen, dann müsste es passen:

Man betrachtet mal den Erwartungswert für diesen gilt:



Das kann man sich überlegen, da in einiges wegfällt, falls ein Index allein auftritt, wegen der Unabhängigkeit und dem Erwartungswert Null.

Es ist dann:

Nun gilt schließlich

und der letzte Ausdruck ist eine konvergente Reihe.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariablen in L4 - Borel Cantelli 1 anwenden
Hallo Leute, vielleicht macht der obige Beitrag nach dem Edit den Eindruck als wäre nun alles klar. Die Frage die ich mir aber immer noch stelle ist ob das überhaupt so stimmt Hammer

Vielen Danke falls mir das noch einer sagen kann smile
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariablen in L4 - Borel Cantelli 1 anwenden
Hallo Leute, ich weiß ja, dass man seine Beiträge nicht pushen soll. Aber das hier interessiert mich schon noch sehr, ob das aus dem Edit so stimmt verwirrt

Vielen Dank und Sorry fürs pushen.. schaut sich wohl eh keiner mehr an Big Laugh Big Laugh Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht verzagen, ich schau es mir noch an - kann aber bis heute abend dauern. Augenzwinkern
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu vielen Dank HAL 9000, das freut mich zu hören. Hat im Grunde auch noch länger Zeit. Also keine eile wegen HEUTE ABEND Wink Wink Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich selbst mühsam vortastet, sind allerdings Formelfehler nicht gerade hilfreich:

Zitat:
Original von steviehawk
Nun wende ich die Markov - Ungleichung an mit . Dies liefert die folgende Abschätzung:


Sollt da rechts nicht eher stehen?
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich, das sollte heißen. Damit habe ich dann auch im Edit weiter gemacht, oben habe ich das hoch 4 vergessen, ärgerlich..

wobei ich Edit nicht mehr verstehe, warum

gelten soll. Wenn ich die Summe potenzieren, da entstehen da doch noch lauter Faktoren, die hier ja nicht dabei stehen..

EDIT: Mir ist gerade aufgefallen, dass ich die Faktoren ja dadurch berücksichte, dass ich alle Kombinationen von (i,j,k,l) verwende; manche davon sind aber gleich, z.B. (1122) ist gleich wie (2211) wegen der Kommutativität.. das wäre also schon mal klar (wider smile )
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon in Ordnung so: Es ist

.

Du musst bedenken, dass hier wirklich über alle Tupel summiert wird, und nicht nur (wie man es etwas per Zusammenfassen beim Ausmultiplizieren tun würde) über die mit .

Am kleineren Beispiel illustriert (und nur zweite Potenz): .
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau so habe ich es mir gerade auch klar gemacht! Sorry der Edit kam 2 Sekunden zu spät.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann sind wir doch schon fast durch oder? Kernargument ist m.E. dies hier

Zitat:
Original von steviehawk
[...] einiges wegfällt, falls ein Index allein auftritt, wegen der Unabhängigkeit und dem Erwartungswert Null.

Genau: Von den Summentermen sind damit die meisten weg (also Erwartungswert Null), es bleiben nur Nichtnullterme, was die Reihenkonvergenz ermöglicht.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

ja jetzt ist eigentlich alles klar. Ich habe nur nochmal nachgefragt, weil ich den Beweis ziemlich sicher in einer mündlichen Prüfung zeigen muss und ich daher gern alle Schritte auch verstehen würde. Zudem lernt man dabei einfach viel.

Dass ich schreiben darf hast du mir ja schon erklärt; das geht da messbar ist und wegen der Unabhängigkeit.

Zudem gibt es in der zweiten Summe gerade noch n(n-1) Termne, da gefordert wird..

Da die Reihe dann konvergiert kann ich Borel Cantelli andwenden und der Beweis ist nach ca. 3 Zeilen fertig smile

so schön gehts wenn man annimmt, dass


Vielen Dank Freude Freude Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk

Hier steckt leider noch ein Rechenfehler drin, bei der Teilsumme ganz rechts, da bin ich gestern zu oberflächlich drüberweg gegangen - mea culpa.

Diese Teilsumme muss die Erwartungswerte all jener erfassen, bei denen zwei der Indizes gleich sind und die anderen beiden auch einander gleich (aber verschieden von den ersten beiden). Wollen wir jene für beliebige erfassen, so gibt es genau Quadrupel , so dass zwei der Indizes gleich und zwei gleich sind. Damit muss die obige Zeile ersetzt werden durch



Will man über statt summieren, dann wird daraus immer noch

.

Insgesamt ergibt das wegen der identischen Verteilung . Deinen Beweis beeinträchtigt es natürlich in keiner Weise, ob da oder steht, die Reihe oben konvergiert auch mit letzterem Wert. Augenzwinkern


P.S.: Vielleicht zur Illustration mal eine genaue kombinatorische Aufschlüsselung der Produkte :

a) Produkte, wo alle vier Indizes gleich sind,
b) Produkte, wo alle zweimal je zwei Indizes gleich sind,
c) Produkte, wo genau drei Indizes gleich sind,
d) Produkte, wo zwei Indizes gleich sind und die anderen beiden davon und einander verschieden,
e) Produkte, wo alle vier Indizes verschieden sind.

Die Fälle c)-e) sind jene, wo man mindestens einen einzelnen Index vorliegen hat, womit der Erwartungswert jener Produkte gleich Null wird.
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