Gaußverfahren mit komplexen Zahlen

22.08.2015, 04:19

Marthole

Gaußverfahren mit komplexen Zahlen

Meine Frage:
Hi, ich lerne gerade auf HM1 und hänge bei dem Lösungsweg zu einer Eigenvektorrechnung mit dem Gaussverfahren fest.
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1-i & 1 & 1 \\ -2 & 1-i & 2 \\ 0 & 0 & -i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Der nächste Schritt ist
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1+i & -1+i \\ -2 & 1-i & 2 \\ 0 & 0 & -i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann mir nicht erklären wie die erste Zeile behandelt wurde.
Mit * (-i+1) würde ja -2 und nicht +2 für x1 rauskommen unglücklich

22.08.2015, 06:08

Dopap

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es wurde aber mit $\begin{eqnarray*} -1+i \end{eqnarray*}$ , dem konjugiert Komplexen durchmultipliziert !

22.08.2015, 15:21

Marthole

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Ok danke für die schnelle Hilfe smile

Dann ist also -i*i = 1
War relativ spät gestern und ich war davon überzeugt dass es -1 sein muss :P aber das gilt dann wohl nur auf das quadrierte -i.

22.08.2015, 18:04

Marthole

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Leider hänge ich immer noch an dieser Aufgabe.
Nach:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1+i & -1+i \\ -2 & 1-i & 2 \\ 0 & 0 & -i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Wird ja Zeile II mit I addiert, dann haben wir:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1+i & -1+i \\ 0 & 0 & 1+i \\ 0 & 0 & -i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

In der gelösten Klausur reicht dass anscheinend um den Eigenvektor
$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1+i \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu bestimmen.

x3 ist natürlich 0 da Zeile 3: -i*x3 =0
Aber wie man auf x1 und x2 kommt kann ich mir einfach nicht erklären. Hammer

22.08.2015, 18:44

Elvis

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Da fehlt noch ein Dutzend Rechenschritte.
Du musst erst einmal die drei Eigenwerte berechnen und dann die zugehörigen Eigenvektoren.
Der von Dir angegebene Vektor ist tatsächlich Eigenvektor. Warum das so ist merkst du während der Rechnung.

22.08.2015, 18:57

Marthole

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Ja da ist ja bereits der erste Eigenwert = i eingesetzt bzw. abgezogen von der Diagonalen der Matrix.
Das sind nur die letzten Schritte, bei denen ich Hänge, also dem auslesen der Matrix.

22.08.2015, 23:31

Marthole

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Zitat:

Original von Elvis
Du musst erst einmal die drei Eigenwerte berechnen und dann die zugehörigen Eigenvektoren.
Der von Dir angegebene Vektor ist tatsächlich Eigenvektor. Warum das so ist merkst du während der Rechnung.

Man rechnet erst die Eigenwerte aus, dann zieht man auf der Diagonalen der Matrix die Eigenwerte ab.
Für jeden bekommt man dann einen eigenen Eigenvektor.

Oben gezeigt ist die zweite Eigenvektorberechnung. Zur Lösung des Gaussverfahrens brauch ich nun keinen Eigenwert mehr da er ja schon drin ist.

Ich verstehe nur nicht wie ich auf x1 und x2 komme die Matrix ist ja schon gelöst.
Wenn mir jemand die Gleichung zu x1 und x2 erklären könnte wär mir sehr geholfen.

23.08.2015, 11:25

Elvis

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Du hast mich total verwirrt, weil du eine Determinante anstatt des homogenen LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1+i & -1+i & | & 0 \\ 0 & 0 & 1+i & | & 0 \\ 0 & 0 & -i & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geschrieben hast.
Dieses LGS muss man lösen, wenn man den Kern der Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray*} A-iE \end{eqnarray*}$ , also den Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ berechnen möchte.

Das ist nun ganz einfach: dividiere die 3. Zeile durch $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ und ziehe die 3. Zeile geeignet multipliziert von der 1. und 2. Zeile ab, das gibt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1+i & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \{\mu \begin{pmatrix} \frac {1-i}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}: \mu \in \mathbb C\} \end{eqnarray*}$ offenbar den Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ (man setze $\begin{eqnarray*} x_2:=\mu \end{eqnarray*}$ ). Mit $\begin{eqnarray*} \mu =: \lambda (1+i) \end{eqnarray*}$ ist das gleich $\begin{eqnarray*} \{\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1+i \\ 0 \end{pmatrix}: \lambda \in \mathbb C\} \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht wäre das Helfen sehr viel einfacher geworden, wenn Du die ursprüngliche Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mitgeteilt hättest, denn Eigenwerte und Eigenräume berechnen ist eine Standardaufgabe. Mitten in einen Lösungsweg einsteigen ist nicht immer so leicht.

23.08.2015, 15:31

Marthole

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Erstmal danke! smile

Sorry ich dachte es wär so einfacher für euch.
Eigenwerte und Vektoren rechnen kann ich auch, nur mit dem i war das neu für mich.

Auf das my = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (1-i)/2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bin ich auch gekommen nur dachte ich es sei falsch da das Ergebnis ja

$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1+i \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist.

Leider habe ich den Zwischenschritt immer noch nicht ganz verstanden.
Wieso ist my =: lambda (1+i) ?
und was geschieht dann mit x1 dass es zu 1 wird?

23.08.2015, 18:13

Elvis

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Damit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ wird, muss man den Vektor mit $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ multiplizieren. An der Stelle $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \frac {(1-i)(1+i)}{2}=1 \end{eqnarray*}$ (beachte die 2. binomische Formel im Zähler).

Die Stelle $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zeigt dann den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \mu\cdot 1=\lambda\cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} \mu\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ durchläuft offenbar auch $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ die komplexen Zahlen.
Ich hätte auch definieren können $\begin{eqnarray*} \lambda:=\frac {\mu} {1+i} \end{eqnarray*}$ , aber das macht den Ansatz nicht durchsichtiger.

24.08.2015, 21:17

Marthole

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ok danke! Man macht das nur damit es schöner aussieht oder?

25.08.2015, 10:33

Elvis

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Ob an der 1. oder 2. Stelle des Eigenvektors eine 1 steht, ist mir egal. Ich finde beides gleich schön. Weil nach meinem Verständnis als Eigenraum "die Menge mit $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ " nach Gauß abgelesen werden kann, indem man $\begin{eqnarray*} x_2=\mu \end{eqnarray*}$ setzt, halte ich die Umrechnung auf "die Menge mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ " für überflüssig. Wer mag kann nach Gauß $\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ setzen, dann hat man die andere Darstellung.

30.08.2015, 03:48

Marthole

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Ah ok also nur zusätzliche Verwirrung Big Laugh

Danke für die Hilfe smile

hat mir echt geholfen!

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