Untergruppe beweisen

23.08.2015, 11:15

Frageheld

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Untergruppe beweisen

hallo profis!

ich soll beweisen, dass der zentralisator einer gruppe $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ eine untergruppe dieser gruppe ist.
der zentralisator ist dabei "normal" definiert mit $\begin{eqnarray*} Z(g):=\{h\in G \vert h\circ g=g\circ h\} \end{eqnarray*}$

ich muss dazu ja zeigen, dass 0 in Z liegt, und dass zwei elemente aus Z mit der Verknüpfung auch wieder in Z liegen, und dass von jedem element sein inverses auch in Z ist.

mit der 0 kann man das ja so machen:
$\begin{eqnarray*} 0\circ g = 0 = g\circ 0 \end{eqnarray*}$
reicht das?

und wie mache ich jetzt weiter? die verknüpfung von zwei elementen h_1 und h_2, wobei für jedes die definition des zentralisators gilt, soll auch wieder in Z liegen. kann ich dann sagen, dass ich ein element $\begin{eqnarray*} h_3 = h_1 \circ h_2 \end{eqnarray*}$ habe, dass per definition im zentralisator liegt? das wäre ja zu profan...

23.08.2015, 11:33

Elvis

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Deine Definition stimmt nicht. Sollst Du nun beweisen, dass der Zentralisator Z(G) einer Gruppe G eine Untergruppe von G ist, oder sollst Du beweisen, dass für jedes Element g von G der Zentralisator Z(g) eine Untergruppe von G ist ?

23.08.2015, 12:17

Frageheld

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Zitat:

dass für jedes Element g von G der Zentralisator Z(g) eine Untergruppe von G ist

dieses.

das heißt, dass ich nicht das zentrum Z(G) habe, in dem eine teilmenge von G zu allen anderen elementen von G kommutativ ist, sondern ich habe eine teilmenge von G und jedes element davon muss nur noch zu einem anderen element aus G kommutativ sein?

23.08.2015, 13:13

Elvis

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Nein. Du hast ein Element von g. Alle mit g vertauschbaren h aus G bilden eine Gruppe. Das ist zu zeigen.

nimm deren 2 und zeige, dass ihr produkt mit g vertauschbar sind (fast trivial) .
nimm eines und zeige, dass sein Inverses mit g vertauschbar ist . Tipp: Beweise : $\begin{eqnarray*} Z(g)=Z(g^{-1} \end{eqnarray*}$ ).

23.08.2015, 15:08

RavenOnJ

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RE: untergruppe beweisen

Zitat:

Original von Frageheld

mit der 0 kann man das ja so machen:
$\begin{eqnarray*} 0\circ g = 0 = g\circ 0 \end{eqnarray*}$

Man schreibt übrigens höchstens bei abelschen Gruppen 0 für das neutrale Element. Allgemeiner schreibt man $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ o.ä. für das neutrale Element. In deinem Fall ist aber bestimmt keine abelsche Gruppe gemeint, da der Zentralisator dann trivial wäre. Er wäre nämlich dann ganz G für alle g.

23.08.2015, 15:55

Frageheld

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zu beweise ist also, dass $\begin{eqnarray*} 0\in Z(g) \end{eqnarray*}$ :
zu zeigen ist hierbei, dass 0 mit g vertauschbar ist:
$\begin{eqnarray*} 0\circ g = 0 = g\circ 0 \end{eqnarray*}$

dann muss ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \exists h_1, h_2 \in Z(g):~h_1 \circ h_2 \in Z(g) \end{eqnarray*}$ :
da h_i in Z(g) muss jede h_i mit g vertauschbar sein, ich muss zeigen, dass das auch für beide geht:
$\begin{eqnarray*} h_1 \circ h_2 \circ g = h_1 \circ g \circ h_2 = g \circ h_1 \circ h_2 \end{eqnarray*}$

dann muss ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} h_1^{-1} \in Z(g) \vert h_1 \circ h_1^{-1}=e \end{eqnarray*}$ :
warum kann ich ich hier Z(g) = z(g^-1) zeigen?
ich muss zeigen, dass das inverse element auch in Z(g) liegt, was heißt, dass es auch mit g vertauschbar sein muss. hier ein versuch:
$\begin{eqnarray*} h_1 \circ g = h_1 \circ e \circ g = h_1 \circ h_1 \circ h_1^{-1} \circ g = h_1 \circ h_1 \circ g \circ h_1^{-1} = \dots = g \circ h_1 \circ h_1 \circ h_1^{-1} = g \circ h_1 \circ e = g \circ h_1 \end{eqnarray*}$
ich glaube jedoch, dass das nicht so richtig das macht was es soll...

Zitat:

Man schreibt übrigens höchstens bei abelschen Gruppen 0 für das neutrale Element.

stimmt. aber hat es hier nicht die funktion der 0? ich muss doch bei einer untergruppe beweisen, dass die menge der zahlen nicht leer ist, dass also die 0 enthalten ist verwirrt

verwirrt

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23.08.2015, 16:00

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Frageheld

Zitat:

Man schreibt übrigens höchstens bei abelschen Gruppen 0 für das neutrale Element.

stimmt. aber hat es hier nicht die funktion der 0? ich muss doch bei einer untergruppe beweisen, dass die menge der zahlen nicht leer ist, dass also die 0 enthalten ist verwirrt

verwirrt

Es handelt sich um Gruppenelemente. Diese sind typischweise keine Zahlen. Die komplexen Zahlen bilden unter Addition und unter Multiplikation (ohne die 0) jeweils eine abelsche Gruppe. Sie sind ein Körper. Du betrachtest hier aber ganz allgemeine Gruppen, auch nicht-abelsche.

23.08.2015, 16:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Frageheld
zu beweise ist also, dass $\begin{eqnarray*} 0\in Z(g) \end{eqnarray*}$ :
zu zeigen ist hierbei, dass 0 mit g vertauschbar ist:
$\begin{eqnarray*} 0\circ g = {\color{red}0} = g\circ 0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Was soll das? In Gruppen gibt es keine Elemente, die mit einem anderen Element ungleich 1 als Produkt wieder sich selbst ergeben. Dies würde zu einem Widerspruch führen. In der multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen kommt deswegen die 0 nicht vor.

Im Sinne des weiter oben gesagten: Verabschiede dich von der 0.

23.08.2015, 16:17

Frageheld

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Zitat:

Im Sinne des weiter oben gesagten: Verabschiede dich von der 0.

ich muss ja nur zeigen, dass mindestens ein element vorhanden ist. gut, kann ich das dann auch mit dem neutralen element zeigen? ist ja auch ein element...
$\begin{eqnarray*} e \circ g = g = g \circ e \end{eqnarray*}$

23.08.2015, 16:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Frageheld

dann muss ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} h_1^{-1} \in Z(g) \vert h_1 \circ h_1^{-1}=e \end{eqnarray*}$ :
warum kann ich ich hier Z(g) = z(g^-1) zeigen?

Hierzu kannst du $\begin{align*} h\circ g=g\circ h \end{align*}$ von links und rechts mit $\begin{align*} g^{-1} \end{align*}$ multiplizieren, woraus folgt, dass auch $\begin{align*} h\in Z(g^{-1}) \end{align*}$ , also $\begin{align*} Z(g)= Z(g^{-1}) \end{align*}$

Zitat:

ich muss zeigen, dass das inverse element auch in Z(g) liegt, was heißt, dass es auch mit g vertauschbar sein muss. hier ein versuch:
$\begin{eqnarray*} h_1 \circ g = h_1 \circ e \circ g = h_1 \circ h_1 \circ h_1^{-1} \circ g = h_1 \circ h_1 \circ g \circ h_1^{-1} = \dots = g \circ h_1 \circ h_1 \circ h_1^{-1} = g \circ h_1 \circ e = g \circ h_1 \end{eqnarray*}$

Viel zu kompliziert, außerdem hast du damit gar nichts gezeigt, sondern nur im Kreis gedreht! Mit $\begin{align*} h\in Z(g): h\circ g=g\circ h \end{align*}$ nach Multiplikation von links und rechts mit $\begin{align*} h^{-1} \end{align*}$ folgt (Klammern nur zur Verdeutlichung): $\begin{align*} h\circ g=g\circ h\Rightarrow g \circ h^{-1}= h^{-1}\circ (h\circ g) \circ h^{-1}= h^{-1}\circ (g\circ h)\circ h^{-1} = h^{-1}\circ g \end{align*}$

23.08.2015, 16:27

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Frageheld

Zitat:

Im Sinne des weiter oben gesagten: Verabschiede dich von der 0.

ich muss ja nur zeigen, dass mindestens ein element vorhanden ist. gut, kann ich das dann auch mit dem neutralen element zeigen? ist ja auch ein element...
$\begin{eqnarray*} e \circ g = g = g \circ e \end{eqnarray*}$

Das ist trivialerweise richtig, denn so ist das neutrale Element definiert. (Dass e notwendigerweise sowohl links- wie rechtsneutral ist, kann man zeigen.) Der Zentralisator Z(g) besteht also mindestens aus dem neutralen Element. Wenn dies für alle Elemente der Fall ist, dann handelt es sich um eine "maximal nicht-abelsche" (dies ist keine übliche Bezeichnung) Gruppe, d.h. es gibt keine Elemente, die miteinander vertauschen (außer mit e natürlich).

23.08.2015, 16:44

Frageheld

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woran es also noch haprterte ist das neutrale element, alles andere schien wohl mit der zeit richtig smile

smile

ich werde das mit Z(g) = Z(g^-1) noch mal ausführen zur übung:

$\begin{eqnarray*} h \circ g = g \circ h \Rightarrow g^{-1} \circ h = g^{-1} \circ (h\circ g) \circ g^{-1} = g^{-1} \circ (g\circ h) \circ g^{-1} = e \circ h \circ g^{-1} = h \circ g^{-1} \end{eqnarray*}$

aber warum kann ich "von links nach rechts mit etwas multiplizieren"? weil $\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ g^{-1} = e \end{eqnarray*}$ ? es gilt doch $\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ g = e \end{eqnarray*}$ ...

und wie ist das inverse bestimmt. durch die eindeutigkeit des inversen? reicht es also, das inverse nur als ein solches zu benennen und es innerhalb der rechnung als ein "normales" element zu behandeln?

23.08.2015, 18:30

Elvis

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.

23.08.2015, 18:33

Elvis

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Etwas besser als Deine Ausführung war der Vorschlag von RavenOnJ : $\begin{eqnarray*} hg=gh\Rightarrow g^{-1}hgg^{-1}=g^{-1}ghg^{-1}\Rightarrow g^{-1}h=hg^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du die letzte dieser Gleichungen invertierst, kommst Du auf die gesuchte Behauptung.

Und ja; zu jedem Element einer Gruppe existiert genau ein inverses Element in der Gruppe.

23.08.2015, 19:39

Frageheld

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Zitat:

Wenn Du die letzte dieser Gleichungen invertierst, kommst Du auf die gesuchte Behauptung.

oha! das wars, danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen dank euch beiden für die guten erklärungen! Gott

Gott

lg

23.08.2015, 19:42

Elvis

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Pass auf, dass Du diese Aussagen sorgfältig mit den richtigen Quantoren und Implikationen aufschreibst, sonst wird der Beweis trotz einiger guter Ansätze unvollständig und damit falsch. Lehrer

Lehrer

23.08.2015, 20:06

Frageheld

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werde ich versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

dankeschön!!

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