Gruppentafeln, Beispiele

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Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentafeln, Beispiele
er post umfasst zwei aufgaben. bei der ersten will ich nur, dass sie abgenickt wird... oder nicht, weil falsch Wink
bei der zweiten ein wenig mehr...

die gruppentafel von müsste doch folgende sein: das * bedeutet einfach ausgedrückt, dass die 0 nicht vorkommt.? also nur die elemente 1-2. im folgenden als matrix...(!) geschrieben, weil table wohl nicht funktioniert.



bei der zeiten aufgabe soll ich den isomorphismus von darstellen.
was wird da auf was abgebildet? die ganzen zahlen mod 3 ohne null (also 1, 2) auf die ganzen zahlen mod 2 (also 0, 1).
die zielmenge ist mod 2, also muss ich in meiner tabelle auch mod 2 rechnen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frageheld


Hmm, anscheinend verstehst du unter den Symbolen 1 und 2 etwas anderes als die Mehrheit: Gewöhnlich sieht man 1 als neutrales Element der Multiplikation (auch in ) und nicht wie bei dir die 2. Augenzwinkern
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gewöhnlich sieht man 1 als neutrales Element der Multiplikation

ist hier die multiplikation gefragt, und nicht die addition?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte angenommen, dass du die Grundbegriffe leidlich kennst, über die du da schreibst:

Prime Restklassengruppe
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

abelschen gruppen bezüglich der multiplikation...

also:?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, anscheinend musst du dich nochmal auf den Hosenboden setzen, was grundlegende Eigenschaften einer Gruppe(ntafel) betrifft:

Z.B. muss in jeder Zeile und jeder Spalte für sich genommen jedes Gruppenelement genau einmal vorkommen. Wie sieht es da aus mit ?

Kurzum:


Und deine Additionstafel von bedarf auch einer Überarbeitung: Es gibt in dieser Gruppe nur die Elemente 0 und 1 - sowohl "außen" bei den Operanden als auch "innen" bei den Ergebniswerten.
 
 
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

dann wäre es das hier? ich habe in der ausgangsgruppe die elemente 1 und 2 (siehe obere aufgabe), diese werden auf einen modulo abgebildet, also gibt es nur noch elemente 0 und 1. die 2 innerhalb war natürlich sowieso falsch...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Und nun sollte es auch nicht mehr so schwer sein, eine passende bijektive Funktion von {1,2} nach {0,1} für den in der zweiten Aufgabe gesuchten Isomorphismus zu finden.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ich redete gerade schon von der zweiten aufgabe...? verwirrt

warum existieren denn in der ersten aufgabe nur 0 und 1? und ich meine natürlich in der letzten gruppentafel * und nicht +...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, theoretisch könntest du modulo 2 auch mit dem Repräsentanten 2 statt 0 operieren. Aber erstens wäre das sehr ungewöhnlich, und zweitens solltest du es dann zumindest bei der Additionstafel-Erstellung konsequent handhaben: Also nicht hier mal die 0, dort mal die 2, das wäre nicht gerade übersichtlich...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000

Ich will mich einmal einmischen, weil ich vermute, woran es liegt, daß das hier so klappert.


@ Frageheld

Ich glaube, deine Verständnisschwierigkeiten liegen hauptsächlich darin begründet, daß du glaubst, du müßtest abstrakt irgendwelche Gruppen konstruieren. Das ist hier mitnichten so. Vielmehr sind



bereits festgelegte Gruppen, deren Gruppentafeln du berechnen sollst. Du hast keine Wahl, weder in der Bezeichnung der Elemente der Gruppe noch der Gruppenoperationen. Was allerdings unausgesprochen gilt, ist, daß die Ziffern nicht für gewöhnliche ganze Zahlen stehen, sondern für ihre Restklassen modulo 3. Du rechnest zunächst wie gewohnt im Bereich der ganzen Zahlen und addierst oder subtrahierst so oft 3, bis du bei angelangt bist. So gilt zum Beispiel in



Denn in ist , und dann zieht man einmal 3 ab, so daß man bei ankommt.

Vielleicht solltest du jetzt ein für allemal die Gruppentafeln für (additive Gruppe) und (multiplikative Gruppe) korrekt aufstellen. Und alles andere zuvor vergessen. Und dann geht es weiter mit der eigentlichen Aufgabe.

Das wäre mein Vorschlag. Und jetzt bin ich weg ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich will mich einmal einmischen, weil ich vermute, woran es liegt, daß das hier so klappert.

Derartige Einmischungen nehme ich eher mit Erleichterung auf. Augenzwinkern
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

also... hey leopold Wink

dann versuche ich hier mal und azugeben:
für gilt:
ich rechne modulo 3, also habe ich die elemente 0, 1, 2. es ist eine additive gruppe, also rechne ich mit +.
dann ergibt sich:


korrekt?

und dann mache ich das für :
da habe ich auch modulo 3, also die elemente 0, 1, 2. es ist aber eine additive gruppe und ich rechne daher mit *.
sonst ändert sich nix im vergleich zu oben...


auch das korrekt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim zweiten meinst du hoffentlich "multiplikativ". Du hast "additiv" geschrieben.

Im Prinzip hast du jetzt die Verknüpfungstafeln für den Ring . Mit ist aber nur eine Substruktur gemeint, nämlich die bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente (in der Ringtheorie nennt man die auch "Einheiten"). Das neutrale Element der Multiplikation ist die . Und invertierbar ist ein Element genau dann, wenn ein existiert mit . Beschränke dich also in der zweiten Tabelle auf die invertierbaren Elemente. Im Moment beschreibt die zweite Tabelle gar keine Gruppe.
Frageheld Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich meinte multiplikativ... (das kommt davon, wenn man copy-paste macht... Augenzwinkern )

also fällt in der substruktur die 0 raus, da man kein a finden kann, für das gilt: a*0 = 1.

dann sähe die tafel so aus:


so?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt haben wir's.

Nun zur eigentlichen Aufgabe. Da geht es zum zwei Gruppen, nämlich um



und um



Und dann sollst du einen Isomorphismus angeben. Viel Möglichkeiten hast du da nicht. Und die Gruppentafeln legen ja nahe, wie abzubilden ist. Es muß insbesondere gelten. Das Pluszeichen steht für die Addition in (das ist dort die Gruppenoperation), das Malzeichen steht für die Multiplikation in (das ist dort die Gruppenoperation).
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