Abgeschlossenheit bzgl. der Subtraktion - Unterräume

25.08.2015, 12:05	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit bzgl. der Subtraktion - Unterräume Meine Frage: Hallo Leute, in dem Buch Lineare Algebra, von Beutelspacher, wird bei Unterraumkriterium immer gezeigt, dass für einen Unterraum gilt: $\begin{eqnarray} u, v \in U \Rightarrow u-v \in U \end{eqnarray}$ bringt das irgendwelche Vorteile gegenüber dem dass man zeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray} u,v \in U \Rightarrow u+v \in U \end{eqnarray}$ , denn so haben wir es in Lineare Algebra 1 gelernt (bzw. gemacht ) Meine Ideen: Im Grunde dürfte es ja keinen Unterschied machen oder? Denn man zeigt ja auch noch das gilt: $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb K \ u \in U \Rightarrow \alpha \cdot u \in U \end{eqnarray}$ demnach ist dann $\begin{eqnarray} -u \in U \end{eqnarray}$ und dann ist $\begin{eqnarray} v + (-w) = v - w \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe
25.08.2015, 12:48	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossenheit bzgl. der Subtraktion - Unterräume hallo, ja, genauso ist es. gruss ollie3
26.08.2015, 09:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition (Untergruppe): Eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray} H\subseteq G \end{eqnarray}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray} (G,\cdot) \end{eqnarray}$ heißt Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} (H,\cdot) \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Satz (Untergruppenkriterien): Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (G i) $\begin{eqnarray} \emptyset \ne H \end{eqnarray}$ ist eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . (G ii) $\begin{eqnarray} 1 \in H, \forall a,b \in H : a \cdot b \in H, \forall a\in H:a^{-1} \in H \end{eqnarray}$ (G iii) $\begin{eqnarray} \emptyset \ne H, \forall a,b \in H : a \cdot b^{-1} \in H \end{eqnarray}$ Definition (Untervektorraum): Eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray} U\subseteq V \end{eqnarray}$ eines Vektoraums $\begin{eqnarray} (V,+,\cdot_s,K) \end{eqnarray}$ über dem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ heißt Untervektorraum (UVR) von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} (U,+,\cdot_s,K) \end{eqnarray}$ ein Vektorraum ist. Satz (UVR-Kriterien): Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (V i) $\begin{eqnarray} \emptyset \ne U \end{eqnarray}$ ist eine UVR von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . (V ii) $\begin{eqnarray} 0\in U,\forall x,y\in U:x+y\in U, \forall x\in U\forall \alpha \in K: \alpha\cdot_s x\in U \end{eqnarray}$ (V iii) $\begin{eqnarray} 0\in U,\forall x,y\in U:x-y\in U, \forall x\in U\forall \alpha \in K: \alpha\cdot_s x\in U \end{eqnarray}$ (V iv) $\begin{eqnarray} \emptyset\ne U, \forall x,y \in U \forall \alpha,\beta \in K : \alpha\cdot_s x+\beta \cdot_s y\in U \end{eqnarray}$ Ja, die Kriterien sind alle äquivalent, es mag aber im Einzelfall nützlich sein mehrere Kriterien zu haben, um Teilstrukturen möglichst einfach als solche nachzuweisen. Außerdem betonen die unterschiedlichen Kriterien gewisse Eigenschaften der Teilstrukturen: (G ii, V ii) betonen die Abgeschlossenheit gegenüber den Operationen, (V iii) erweist insbesondere wegen (G iii) $\begin{eqnarray} (U,+) \end{eqnarray}$ als Untergruppe von $\begin{eqnarray} (V,+) \end{eqnarray}$ , (G iii) und (V iv) sind die jeweils kompaktesten Kriterien, speziell bedeutet (V iv) dass ein UVR dadurch charakterisiert ist, dass er alle endlichen Linearkombinationen seiner Elemente enthält.

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