Kombinatorik - Zahlenschloss

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik - Zahlenschloss
Hey Leute, es ist mir ziemlich peinlich, aber ich scheitere an einer Aufgabe, die ich mir aus Spaß selbst gestellt hab. Jetzt zweifle ich an meinem Verstand.

Angenommen wir haben ein Zahlenschloss mit 4 Slots für je eine Ziffern von 0-9.
Insgesamt gibt es 10^4=10000 Möglichkeiten (mit Wiederholung, mit Berücksichtigung der Reihenfolge).

Jetzt will ich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es mindestens 2 identische Ziffern gibt. Ich habe 2 verschiedene Ansatzideen, aber die führen zu verschiedenen Ergebnissen.

1) Über das komplementäre Ereignis:
P("mindestens 2 identische Ziffern")=1-P("alle Ziffern verschieden")=1-10*9*8*7/10000=1-0,504=0,496. (Wenn alle identisch sind, dann sind wir im Fall Ohne Wiederholung, Mit Reihenfolge.)

2) P("mindestens 2 identische Ziffern")=P("genau 2 identische Ziffern")+P("genau 3 identische Ziffern")+P("genau 4 identische Ziffern")=...

P("genau 2 identische Ziffern")=10 [Möglichkeiten identischer Ziffern] *(4ü2) [Möglichkeiten der Anordnung dieser identischen Ziffern] * 9^2[Möglichkeiten der restlichen zwei Ziffern] = 4860
P("genau 3 identische Ziffern")=10 [Möglichkeiten identischer Ziffern] * (4ü3) [Möglichkeiten der Anordnung dieser identischen Ziffern] * 9[Möglichkeiten der restlichen Ziffer] = 360
P("genau 4 identische Ziffern")=10 (bedarf eigentlich keiner Rechnung)

P("mindestens 2 identische Ziffern")= (4860+360+10)/10000=5230/10000=0,523

Wieso kommen hier denn aber zwei verschiedene Ergebnisse raus?! Beide müssten identisch sein, seht ihr den Denkfehler??
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik - Zahlenschloss
hallo,
ich glaube ich habe deinen denkfehler schon entdeckt Big Laugh
Bei p(genau 2 id. ziffern) muss es natürlich heissen (4 über 2) mal 9 mal 8 und
nicht mal 9^2, denn sonst hätte man ja insgesamt 3 id. ziffern. Augenzwinkern
Verstanden?
gruss ollie3
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@ollie3

Stimmt auch nicht ganz: Du deckst mit deiner Rechnung nur den Fall ab "insgesamt drei verschiedene Ziffern, davon eine doppelt". Es fehlt der Fall 2x2identische Ziffern, also 1122, 1221 usw. mit Varianten. Das sind übrigens genau die Varianten, die MasterWizz falscherweise doppelt zählt. Augenzwinkern
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich habs verstanden!

Ihr seid Hammer Big Laugh

Gibt es eurer Meinung nach eine einfachere Methode die Anzahl aller Möglichkeiten zu berechnen, dass 2 Slots die selben Ziffern haben?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst eine einfachere Berechnung für die 4860-270 = 4320+270 = 4590 Varianten für "(mindestens) ein Paar von 2 identischen Ziffern"? Ist doch eigentlich schon einfach genug.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Du meinst eine einfachere Berechnung für die 4860-270 = 4320+270 = 4590 Varianten für "(mindestens) ein Paar von 2 identischen Ziffern"? Ist doch eigentlich schon einfach genug.


Ich hätte gedacht es gibt vllt noch eine einfachere, intuitivere Variante für den Fall "genau 2 identische Ziffern". Was wäre dein erster Gedanke gewesen, wenn du die Aufgaben hättest lösen wollen HAL 9000?

Denn davor habe ich alle Möglichkeiten berechnet, dass 2 Ziffern den Wert "8" haben:
- Anordnung der "8"en = 4ü2=6
- Nicht-"8"en: 9^2=81
--> Also insgesamt 486 Möglichkeiten.

Damit hab ich mich selbst manipuliert und für "generell genau 2 identische Ziffern" gedacht, es reicht, wenn ich einfach *10 rechne. Selbst eine Falle gestellt sozusagen. Eventuell gibts aber einen viel besseren Weg^^
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterWizz
Ich hätte gedacht es gibt vllt noch eine einfachere, intuitivere Variante für den Fall "genau 2 identische Ziffern". Was wäre dein erster Gedanke gewesen, wenn du die Aufgaben hättest lösen wollen HAL 9000?

Ich hätte es mit der Variante von ollie3 gemacht plus den von mir nachgereichten Fall, also

.


Und ich finde, allein die Beschreibung "genau 2 identische Ziffern" führt in die Irre, weil sie den Fall "2x2identische Ziffern" irgendwie ausschließt oder zumindest im Unklaren lässt, ob der dazugehört oder nicht.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt so viele Wege hahaha. Denke mal es reicht jetzt.

VIELEN DANK FÜR DIE HILFE, ES HAT SPAß GEMACHT smile
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