Bildet die Ableitung tatsächlich oder nur näherungsweise eine Tangente? |
| 25.08.2015, 14:52 | schrauberking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Bildet die Ableitung tatsächlich oder nur näherungsweise eine Tangente? Hi, wie oben schon gesagt, zerbrechlich mir da irgendwie den Kopf. Durch das unendlich kleiner werdende Steigungsdreieck, verschwindet es doch nicht. Und wenn es nicht verschwindet, muss es sich doch streng genommen um eine Sekante handeln, die aber näherungsweise an die Tangente rankommt. Ist das richtig? Meine Ideen: Danke |
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| 25.08.2015, 15:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dieses "verschwindet es doch nicht" erinnert mich an die Argumentation in Achilles und die Schildkröte. Ok, so ganz passt die Analogie nicht, aber es erinnert mich trotzdem dran. 
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| 25.08.2015, 15:50 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
doch, das Steigungsdreieck verschwindet, wenn man den 2. Sekantenpunkt mit konstanter Geschwindigkeit auf der Kurve laufen lässt. Nur darf man gedanklich nicht kurz anhalten, um die neue Steigung zu berechnen. oder: wenn du von einem Stück Käse laufend davon die Hälfte ist, dann kannst du beliebig lange essen. Der Grenzwert dieser Mahlzeit ist aber jedem intuitiv auch ohne Mathematik klar. |
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| 26.08.2015, 13:39 | schrauberking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit dem Vorsprung ist natürlich falsch. xD Trotzdem verstehe ich nicht, was das damit zu tun hat. Wenn der Abstand der Punkte 0 wäre, hätten sie doch die gleichen Koordinaten. Heißt es nicht, dass das immer kleiner werdende Steigungsdreieck mit der Sekante, die man eben als verlängerte Hypothenuse ansieht, näherungsweise die Tangente beschreibt? Wikipedia:"Die Tangente entspricht der besten linearen Näherung für die Funktion f an der Stelle x0" |
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| 26.08.2015, 20:07 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es geht nicht darum immer kleinere Steigungsdreiecke zu berechnen, sondern darum, mathematisch zu erkennen wohin die Reise geht, sprich man muss einen Grenzwert bestimmen. |
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| 27.08.2015, 14:00 | schrauberking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gerade über diese Approximation mit den immer kleiner werdenden Steigungsdreiecken kommt man aber erst an einen bestimmten Wert heran. Und daran erkennt man doch zu welchem Ziel die Reise ETWA geht. Weil sich in dem Steigungsdreieck nichts Signifikantes mehr tut. Die ganze Rechnung funktioniert deswegen garnicht ohne einen anderen Punkt, selbst wenn dieser in seinen Koordinaten einen Abstand von 0,0000000000000001 vom Punkt x0 hätte. Da muss ganz hinten noch was stehen, sonst wäre er ja 0. Gleichzeitig ist das was man herausbekommt immernoch ne Sekantensteigung. Die ist aber etwa der Tangentensteigung. So sehe ich das. |
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| 27.08.2015, 14:49 | schrauberking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Einzige was mich iwi stutzig macht ist, dass bei der h-Methode h einfach 0 werden lassen aber bei dem Differenzenquotient keine gleichen Punkte einsetzen darf, also Abstand 0 ???? |
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| 27.08.2015, 15:48 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ja genau das, was die Mathematiker Jahrhunderte gequält hat, bis Leibniz und Newton kamen und ihnen mit der Analysis die richtige Werkzeugkiste gegeben haben. Und auf einmal konnte man eben doch die Sekante zur reinen Tangente werden lassen, die wirklich nur in einem Punkt aufsetzt und dessen Steigung angibt. Du bist also nicht allein mit Deinen Zweifeln. Viele Grüße Steffen |
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| 27.08.2015, 16:16 | schrauberking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versteh aber immer noch nicht warum das so ist. Warum besteht beim Differenzenquotient diese Einschränkung und mit der h-Methode nicht? |
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| 27.08.2015, 16:45 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil eben bei der h-Methode der Limes gebildet wird. Da steht ja nicht nur , wo man natürlich nicht h=0 setzen darf. Sondern man verspricht mit , dass man h immer näher an Null bringt, aber ganz bestimmt niemals Null werden lässt. Und dann lässt sich auf einmal die Steigung von z.B. f(x)=x² an der Stelle x=1 eben doch berechnen, ohne durch Null zu dividieren: Und jetzt kommt eben die entscheidende Stelle: wir haben versprochen, dass h nicht Null wird, dann dürfen wir jetzt auch einfach kürzen. Normalerweise darf man das ja nur, wenn h=0 ausgeschlossen ist. Also los: Und jetzt lassen wir h eben doch Null werden (man kann ja nicht immer alle Versprechen einhalten) und erhalten die richtige Steigung 2. So, sehr, sehr vereinfacht ausgedrückt, funktioniert Analysis. (Die "richtigen" Mathematiker dürfen gerne was dazu sagen.) Und diese Vorgehensweise entspricht eben geometrisch dem Übergang von der Sekante zur Tangente. |
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| 27.08.2015, 17:45 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das heisst., Du hast Deine Beispielrechnung unter der zwingend notwendigen Voraussetzung gemacht, und dann in den letzten Ausdruck in der Gleichungskette, die ohne die Voraussetzung so gar nicht zustande kommen kann, eben doch einfach eingesetzt, bloss weil es am Ende eben geht? Und zur Cachierung dieses Taschenspielertricks einfach ueberall drangeschrieben? |
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| 27.08.2015, 17:48 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß, dass ich stark vereinfach habe. Wenn es allerdings grundfalsch erklärt wurde, darfst Du mich gerne verbessern, wie gesagt. |
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| 27.08.2015, 19:02 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So wie Du haben schon Newton und Leibniz argumentiert. Vorgeworfen wurde ihnen u.a. eben, dass man einen Ausdruck nicht unter der Voraussetzung manipulieren und dann in das Ergebnis doch einsetzen darf; damit invalidiert man ja nachtraglich die ganze Rechnung. Natuerlich ist der Grenzwertbegriff der Ausweg, aber Du hast, wenn man Deiner Erklaerung folgt, einfach nur ueberall drangeschrieben, und es dann trotzdem so gemacht, wie es keinen Sinn ergibt. Jedenfalls begreife ich jetzt immer besser, was die "h-Methode" ist und warum man dafuer auch noch einen eigenen Namen einfuehren musste. Nachdem man den Grenzwertbegriff aus dem Lehrplan gestrichen hat, kann man es ja gar nicht besser machen als Newton und Leibniz. Anstaendig argumentiert loest man auf, indem man bemerkt, dass da ja ein in stetiger Ausdruck steht, und als Grenzwert dasselbe rauskommt, wie beim Einsetzen von 0. Oder fuer Limites von rationalen Ausdruecken einfach mit den Grenzwertsaetzen. |
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| 27.08.2015, 20:49 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Klarstellung! Immerhin fühle ich mich geehrt, mit Newton und Leibniz in einem Atemzug genannt zu werden. In den 70ern habe ich sogar noch mit Epsilon und Delta gerechnet. Ich habe gehört, dass das nun kein Schulstoff mehr ist, warum auch immer. Aber vielleicht haben meine hemdsärmeligen Erklärungen doch etwas geholfen. Viele Grüße Steffen |
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| 27.08.2015, 23:27 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dafür bräuchte man aber den Begriff der Stetigkeit und idealerweise (wobei das durch das Problem ja eh schon aufgekommen ist) einen korrekten Grenzwertbegriff. Beides ist kein verpflichtender Schulstoff mehr.
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| 28.08.2015, 03:00 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn das hier ein Bugtracker fuer Schulmathematik waere, dann muesste man die Frage wahrscheinlich mit "WONTFIX" markieren. Als Begruendung wuerde das zweite Cavalierische Prinzip zitiert: "Strenge ist Sache der Philosophie, nicht der Mathematik". 
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