Berechnung des Startwinkels einer parabelförmigen Flugbahn

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Bananen-Joe Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Startwinkels einer parabelförmigen Flugbahn
Meine Frage:
Hallo allerseits,

ich war neulich im Park spazieren und sah dabei Leuten beim Volleyball spielen zu.
Da war mir die parabelförmige Flugbahn des Volleyballs in den Sinn gekommen.

Das erinnerte mich daraufhin an eine Geschichte, die ich mal gelesen hatte, wonach Galileo einst die Formeln für die parabelförmigen Flugbahnen entwarf (bei Wikipedia im Artikel: Wurfparabel). Diese Formeln sollen unter anderem für die Berechnung der Flugbahn von Kanonen eingesetzt worden sein.

Ich wollte nun, einfach so, mir eine derartige Formel entwerfen, die mir zu einem beliebigen Punkt und dem Abschusswinkel der Kanone die nötige Abschussgeschwindigkeit der Kugel ausgibt.
Das hat ganz gut funktioniert.

Danach wollte ich eine Formel erstellen, die mir zu einer gegebenen Geschwindigkeit den nötigen Winkel ausrechnet.
Das hat aber leider nicht geklappt. Entweder geht es nicht oder ich kenne den nötigen Kniff dazu nicht.

Meine Ideen:
Meine Überlegung zur grundsätzlichen Thematik war, dass ich die relativen Zielkoordinaten (Px und Py), die Schwerebeschleunigung (g) und den Abschusswinkel (a) benötige und daraus die Initialgeschwindigkeit (v0) berechnen kann. Die grundlegenden Formeln für x und y enthalten noch die Zeit (t).
Das geht auch ganz gut:



Mit x = Px und y = Py erhält man, wenn man die erste Formel nach t umformt und in der zweiten Formel einsetzt:


Die Ergebnisse, die ich damit erhalte, scheinen empirisch betrachtet auch zu stimmen.
Die ersten beiden Formeln stehen, wie ich nun sehe, auch bei Wikipedia (die stimmen also definitiv).

Die Frage ist nun, wie man die Formel so umformt, dass a = ? herauskommt?

Nach langer Zeit des Umformens bin ich immer an Termen wie diesem gescheitert:


Ich kann diesem Term einfach nicht zu sowas wie a = ? umformen, da ich zunächst nur cos(a) oder sin(a) auf einer Seite haben müsste.
Da auf der rechten Seite der Gleichung die beiden Brüche jedoch ein + trennt und ein unterschiedlicher Nenner verwendet wird, führt eine Äquivalenzumformung wie *cos(a) immer dazu, dass ein sin(a) oder cos(a) immer im rechten Term erhalten bleibt.

Eine alternative Formel für a wäre zwar , aber da hat man da ja die Zeit wieder mit drin, was ja ungewünscht ist.
Ich möchte eine Formel der Form a(Px, Py, v0) = ?
Einen Parameter für die Zeit sollte es da nicht geben.
Ist es möglich hier durch Umformung o. ä. an die gewünschte Formel zu gelangen?
Oder ist es schlichtweg nicht möglich und wenn ja warum?

Wenn es eine solche Formel gibt, dann sollten meiner Überlegung (und empirischen Beobachtung in Excel) nach für die meisten Geschwindigkeiten zwei mögliche Winkel herauskommen. Es gibt aber auch einen Startwinkel mit der minimal nötigen Startgeschwindigkeit.
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Danach wollte ich eine Formel erstellen, die mir zu einer gegebenen Geschwindigkeit den nötigen Winkel ausrechnet.

Ein ähnliches Beispiel (mit konkreten Längenangaben) wurde am 23.08.2015 hier gelöst:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/adwlsg.php

LG Mathe-Maus
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

leider ist die Seite nicht zu finden unglücklich
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/adwlsg.php

oder

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/
dann siehe den Link "Lösung zur Aufgabe der letzten Woche"

---------------
Jetzt auf den Link geklickt (in der Vorschau) und es funzt.

............
Nachtrag: Link kopieren funzt auch ...
Eintrag des Links mit URL über Boardfunktionen bringt Fehler (Seite wird nicht angezeigt) verwirrt
Weil: es fehlt ein Doppelpunkt hinter http, dieser wird im aufgerufenenLink nicht eingefügt, obwohl im Textbeitrag angezeigt !
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh... die Aufgabe im Link hat einen zusätzlichen Freiheitsgrad ( v0 ) und eine zusätzliche Bedingung ( waagrechtes Treffen) und hat mit der Aufgabe des Fragestellers wenig zu tun.

Für die Winkel im Original kann ich nur numerisch Lösungen finden.
Bananen-Joe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link, aber er passt nicht ganz.

In dem Link wird davon ausgegangen, dass das Ziel am Scheitelpunkt der Parabel ist und somit y' = 0 gilt.
Diese Bedingung ist bei mir aber nicht gegeben.

Nehmen wir zum Beispiel folgende Kurve (a = 45°, v0=6 m/s):


Diese Kurve trifft ihr Ziel am rechten Rand. Dies aber nicht am Scheitelpunkt.

Man könnte zwar mit Hilfe einer Sukzessiven Approximation an ein Ergebnis herankommen, doch wäre das eine Informatikerlösung und ich wollte hier gerne eine Mathematikerlösung haben. Hammer

MfG Bananen-Joe
 
 
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Ausgehend von


komme ich auf

Dann einsetzen, Wurzel isolieren, quadrieren.
Das liefert eine quadratische Gleichung für die Variable
Gefällt dir das besser?
Bananen-Joe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schon mal für deine Antwort!
Die Idee mit dem Sinus umwandeln ist gut, das war ein Problem vor dem ich auch stand und wofür ich keine Lösung hatte.
Ich hatte beim Recherchieren zwar den Trigonometrischen Pythagoras entdeckt, doch hatte ich nicht daran gedacht, dass man den hier nutzen kann.

Leider komme ich danach immer noch nicht weiter.
Nach der Umformung sieht meine Formel so aus:


Ich habe zwar cos^2(a) auf einer Seite stehen, doch kommt es leider auch auf der anderen Seite der Gleichung vor. Und weil es nicht überall vorkommt, kann ich es auch nicht einfach so rauskürzen.

Bin ich hier auf dem Holzweg oder fehlt da noch ein Kniff?

MfG Bananen-Joe
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Multiplizieren deine Gleichung mit
Edit: Ich habe deine Gleichung übrigens nicht nachgerechnet.
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