Basis zweier linearer Unterräume finden

26.08.2015, 21:37

PaddyP

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Basis zweier linearer Unterräume finden

Hallo Forum,

ich habe hier folgende Aufgabe gegeben (Verständnisfragen) :
Im linearen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ seien folgende zwei lin. Unterräume gegeben:

$\begin{eqnarray*} <br /> U_1 = \left\{ \vec{x} \in \mathbb R^{4} | \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \vec{x} = \vec{0} \right\}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> U_2 = [\vec{a},\vec{b}] \; mit \; \vec{a} = (1,-1,0,1)^T, \vec{b} = (0,3,1,-5)^T<br /> \end{eqnarray*}$

(a) Geben Sie eine Basis B_1 von U_1 und eine Basis B_2 von U_2 an.
(b) dim(U_1), dim(U_2) (lt. Definition ist ja die Dimension die Anzahl der Basisvektoren)
...
Die Basis ist ja definiert als linear Unabhängiges Erzeugendensystem.

- die Matrix in U_1 gibt zwei Zeilenvektoren an oder? (Da ja der Vektorraum R^4 ist, hab ich doch also zwei Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} \vec{x} = (x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray*}$

Angesetzt habe ich den Gauß und damit in Zeilenstufenform gebracht bzw. dann die Basisvektoren herausgelesen.
Also zwei mal die zweite Zeile von der ersten subtrahiert und folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Als Basisvektoren kommen doch schonmal also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ richtig?
Anschließend ergänze ich noch zwei Standardbasisvektoren (0,0,1,0) und (0,0,0,1) um eine vollständige Basis für R^4 zu haben oder?
Erstmal bis hierher. Ich danke euch schonmal für eure Antworten.

26.08.2015, 22:09

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RE: Basis zweier linearer Unterräume finden
Verständnisfrage: Warum kann man ohne jegliche Rechnung sagen, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf keinen Fall eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ sein können?

27.08.2015, 11:48

PaddyP

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Hmm, diese beiden Vektoren können nicht den $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ abdecken (spannen ihn nicht auf), da noch diese um zwei weitere Komponenten (und sowieso zwei Vektoren) erweitert werden müssen. Ist das richtig?

27.08.2015, 12:47

klarsoweit

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In der Tat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2015, 14:03

PaddyP

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Was ich noch gemacht habe, aber leider nicht in den Originalpost geschrieben hatte:
Ich muss doch um zwei Nullzeilen erweitern, dann die vorhandenen Basisvektoren ermitteln $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und um zwei Standardvektoren beispielsweise erweitern, nämlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Zumindest wäre dass so mein Ansatz um eine Basis für den $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

27.08.2015, 14:45

PaddyP

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Da ein Edit nur innerhalb von 15 Min. möglich ist, noch folgende Ergänzung:
Die beiden oben genannten Standardvektoren sollen natürlich nicht einfach so hinzugefügt werden, sondern die beiden letzen Vektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sollen zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ geändert werden, damit eine Basis für $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Um schonmal für b eine Antwort parat zu haben: Für $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ist doch dann die Dimension 4 (Anzahl der Basisvektoren).

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27.08.2015, 14:55

klarsoweit

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Sorry, daß ich bei meiner letzten Anwort nicht genauer in die Aufgabenstellung gesehen habe. Denn:

Zitat:

Original von PaddyP
Ich muss doch um zwei Nullzeilen erweitern, dann die vorhandenen Basisvektoren ermitteln $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese Vektoren sind keine Elemente des U_1 und mithin können diese auch nicht Teil einer Basis von U_1 sein. Außerdem kann ich nicht erkennen, warum du diese zu einer Basis von R^4 ergänzen willst. Überlege dir nochmal genau, was ein Element von U_1 erfüllen muß.

27.08.2015, 16:49

PaddyP

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Nochmal auf Anfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Zum Verständnis: Ich muss ja eine Basis, also eine Menge an lin. unabhängigen Vektoren finden, die den Unterraum U1 aufspannen, aber nicht den $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ , sondern die beiden Zeilenvektoren sind aus dem $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ .
D.h. ich brauch dann keine 4 Vektoren zwangsweise.

Als Bedingung für Elemente aus dem U1 hab ich doch, dass die vektorielle Addition zweier Vektoren wieder ein Element aus dem Unterraum ergeben muss. Genauso muss doch eine Multiplikation eines skalares mit einem Vektor aus U1 wieder einen Vektor aus U1 ergeben können.

Ich stehe etwas auf dem Schlauch bei der Findung einer geeigneten Basis.

Edit: Ist es möglich, dass ich hier auf die Parameterdarstellung zurückgreifen muss? Die Komponenten sind ja unterbestimmt, d.h. ich kann 2 davon frei wählen. Ich lese aus der Darstellung dann anschließend meine zwei Richtungs-/Spannvektoren, also die Basis herauslesen.

27.08.2015, 21:58

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Ich habe den Eindruck, du suchst eine Basis des Unterraumes
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \vec{x}\mid \vec{x} \in \mathbb R^{4} \right\} \end{eqnarray*}$
Das ist ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; und \; \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis davon.

Du sollst aber nicht das Bild der Matrix berechnen sondern ihren Kern
$\begin{eqnarray*} <br /> U_1 = \left\{ \vec{x} \in \mathbb R^{4} | \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \vec{x} = \vec{0} \right\}<br /> \end{eqnarray*}$
Es gilt also die Lösungsmenge eines homogenen LGS zu bestimmen. Frei wählbare Komponenten klingt in dem Zusammenhang gut.

28.08.2015, 17:02

PaddyP

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Achsoo ok, d.h.:
Der Kern ist ja die Lösungsmenge von A*x = 0.
Also hab ich angesetzt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1&2&-1&1 \\ 0&1&2&1 \end{pmatrix} -2*II => \begin{pmatrix} 1&0&-5&-1 \\ 0&1&2&1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Dieses LGS ist vom Typ 1,2, deshalb löse ich also nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auf und erhalte:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_1 = 5*x_3 + x_4<br /> x_2 = -2*x_3 - x_4<br /> x_3 = s<br /> x_4 = t<br /> \end{eqnarray*}$

Insgesamt also: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \left \{ s\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$
als Basisvektoren. Demzufolge ist die Dimension dieses Unterraums 2.

Gleich zum zweiten Untervektorraum:
Ich habe hier ja nicht explizit Ax=0 angegeben, hab aber hier zwei transponierte Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ . Ich bin etwas verwirrt, ich muss doch dennoch dann den Kern berechnen, also analog vorgehen.

28.08.2015, 17:35

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Du hast richtig gerechnet, aber die Aussage

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \left \{ s\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$ als Basisvektoren.

ist schlichtweg Unsinn. x ist gleich einer Menge und das sind dann die Basisvektoren? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Gleich zum zweiten Untervektorraum:
ich muss doch dennoch dann den Kern berechnen, also analog vorgehen.

Wie kommst du denn darauf?

Im ersten Fall ist der Unterraum als Lösungsmenge einen homogenen LGS definiert. Im zweiten Fall ist alles viel einfacher, du hast schon explizit ein Erzeugendensystem gegeben. Jedenfalls interpretiere ich die mir unbekannte Schreibweise $\begin{eqnarray*} U_2 = [\vec{a},\vec{b}] \end{eqnarray*}$ so.

28.08.2015, 18:18

PaddyP

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Stimmt diese Aussage ist Schwachsinn, leider lässt sich das nicht mehr korrigieren.
Zu letzteren: Genau das hat mich eben verwirrt. Es war hier auch nicht mehr explizit angegeben.

$\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ muss so verstanden werden: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0 \\ -1&3 \\ 0&1 \\ 1&-5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.08.2015, 19:26

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Tut mir leid, aber auch das ergibt keinen Sinn. Demnach wäre U_2 eine Matrix.
Kann es sein, dass U_2 der von a und b aufgespannte Vektorraum sein soll? Das wiederum wäre dann das Bild der angegebenen Matrix - was zur Lösung dieser Aufgabe aber nicht wichtig ist. Wie gesagt hast du explizit ein Erzeugendensystem gegeben und musst nur prüfen, ob die Vektoren l.u. sind.

28.08.2015, 22:18

PaddyP

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Kann es sein dass sich hier die Schreibweise von anderen Aufgabenstellern unterscheidet? [a,b] könnte die lineare Hülle sein. Die Schreibweise die ich noch (im Internet) gefunden habe dazu ist <a,b>

28.08.2015, 22:28

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Natürlich kann das sein. Ob das aber wirklich gemeint ist, solltest du besser wissen als ich. Schließlich hast du die Aufgabe irgendwo aufgegabelt Big Laugh

Big Laugh

28.08.2015, 23:51

PaddyP

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Naja, da ich ja ohnehin schon den ein oder anderen Fehler hier gemacht habe, bin ich mittlerweile ziemlich verunsichert. Um den Vogel evtl. gar abzuschießen, gleich zum zweiten Unterraum Big Laugh

Big Laugh

:

Ich erhalte nach Rechnung folgendes: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang ist zwei und gleichzeitig der Anzahl der Vektoren => lin. unabhängig

29.08.2015, 09:29

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Jeder hat einen Vorrat an geschossenen Böcken und abgeschossenen Vögeln in der Vitrine Big Laugh

Big Laugh

Kein Grund zur Sorge.
Die Aufgabe ist jetzt übrigens richtig gelöst - jedenfalls im Grund. Der guten Ordnung halber solltest du passende Basen auch konkret aufschreiben.

29.08.2015, 17:46

PaddyP

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Gut, dann sind die bilden die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\-1\\0\\1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\3\\1\\-5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Basis.

Ich bedanke mich auf jedenfall vielmals bei euch beiden für die Hilfe.

31.08.2015, 08:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von PaddyP
Gut, dann sind die bilden die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\-1\\0\\1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\3\\1\\-5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Basis.

Noch ein kleiner Hinweis bezüglich der Wortwahl: die Basis eines Vektorraums ist nicht eindeutig bestimmt. Insofern bilden die beiden Vektoren eine Basis, aber nicht die Basis.

01.09.2015, 17:55

PaddyP

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Zitat:

Original von klarsoweit
...Insofern bilden die beiden Vektoren eine Basis, aber nicht die Basis.

Stimmt, danke für den Hinweis Freude

Freude

.

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