Analysis Grenzwerte bestimmen

27.08.2015, 18:15

cutzinator

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Analysis Grenzwerte bestimmen

Meine Frage:
Hey ich lerne jetzt seit Tagen für Mathe 1 und bin echt zu dumm für alles.
Mit La komme ich mittlerweile ganz gut klar, aber beim eigentlichen einfachen Thema, Analysis kacke ich total ab.

Ich möchte die kompletten Aufgaben der altklausur lösen, schaffe aber nicht mal eine davon. Ich verstehe schon nicht wie man den Grenzwert bestimmen soll, obwohl ich sei stunden daran sitze.

Darum frage ich mal hier, ob gerade einer von euch zeit und lust hat mit einem Trottel wie mir die Aufgaben durchzugehen.

Meine Ideen:
Also für die anderen Aufgaben habe ich etwas aber zb für A) weiß ich gar keinen Lösungsweg.

27.08.2015, 18:22

10001000Nick1

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Willkommen

im Matheboard! smile

smile

Bei Aufgaben wie in a) hilft es meist, den Term mit $\begin{eqnarray*} n+\sqrt{n^2+4n} \end{eqnarray*}$ zu erweitern und dann die dritte Binomische Formel anzuwenden.

27.08.2015, 18:30

cutzinator

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Das verstehe ich nicht ganz. Erweitern heißt doch, die funktion um das gleiche zu teilen oder?

ICh habe zb einfach den Zähler quadriert und bin da auf "-4" gekommen

Allgemein verstehe ich nicht wie man den Grenzwert bestimmen soll.

27.08.2015, 18:53

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cutzinator
Erweitern heißt doch, die funktion um das gleiche zu teilen oder?

Erweitern bedeutet, dass man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl (ungleich 0) multipliziert. Du sollst jetzt den Bruch $\begin{eqnarray*} n-\sqrt{n^2+4n}=\frac{n-\sqrt{n^2+4n}}{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+\sqrt{n+4n} \end{eqnarray*}$ erweitern.

Zitat:

Original von cutzinator
ICh habe zb einfach den Zähler quadriert und bin da auf "-4" gekommen

Hä??? Wie das? Und wieso willst du den Zähler quadrieren? verwirrt

verwirrt

27.08.2015, 19:07

cutzinator

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ist das n^2 am anfang gewollt oder hast du dich vertippt?

sry ich bin gerade am verzweifeln und habe seit 4 std keine pause mehr gemacht.

Also soll ich das nun so erweitern

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n-\sqrt{n^2+4n} }{n-\sqrt{n^2+4n}} <br /> \end{eqnarray*}$

27.08.2015, 19:16

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cutzinator
ist das n^2 am anfang gewollt oder hast du dich vertippt?

Huch, ist schon korrigiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von cutzinator
Also soll ich das nun so erweitern

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n-\sqrt{n^2+4n} }{n-\sqrt{n^2+4n}} <br /> \end{eqnarray*}$

Im Zähler fehlt noch ein Faktor, nämlich der, der ursprünglich schon da stand.

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27.08.2015, 19:17

cutzinator

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Entschuldige wenn ich das so sage, aber ich stehe wannsinig unter zeitdruck, obwohl ich seit 6 Tagen lerne. Darum wäre ich euch verbunden, wenn ihr den Lösungsweg schreiben könntet und ich ihn danach versuche zu verstehen.

So warte ich und verliere Zeit :/

Ich gehe bei b nach dem Schema vor, dass ich hier liegen habe und das bei anderen aufgaben auch funktioniert hat
aber bei b funltioniert es dann nicht oder übersehe ich etwas?

wie kann ich ein link senden?
er sagt mir, dass ich nicht registriert bin -.-

Was mit dem Faktor verstehe ich nicht Big Laugh

Big Laugh

tut mir echt leid aber ich bin kurz vorm kollabieren >.<

27.08.2015, 19:27

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cutzinator
Entschuldige wenn ich das so sage, aber ich stehe wannsinig unter zeitdruck, obwohl ich seit 6 Tagen lerne. Darum wäre ich euch verbunden, wenn ihr den Lösungsweg schreiben könntet und ich ihn danach versuche zu verstehen.

So warte ich und verliere Zeit :/

Komplettlösungen werden hier nicht gepostet, und das hat auch einen guten Grund: Eine Lösung nachzuvollziehen und eine Lösung selbst erstellen sind zwei völlig unterschiedliche Sachen. Wenn du dir meine Lösung durchliest, und denkst, du hast sie verstanden, heißt das noch lange nicht, dass du beim nächsten Mal eine ähnliche Aufgabe selbst lösen kannst. Mach doch einfach das, was ich in meiner ersten Antwort geschrieben habe.

Zitat:

Original von cutzinator
Ich gehe bei b nach dem Schema vor, dass ich hier liegen habe und das bei anderen aufgaben auch funktioniert hat
aber bei b funltioniert es dann nicht oder übersehe ich etwas?

Weiß nicht, ob du etwas übersiehst. Aber eigentlich funktioniert das nach dem üblichen Induktionsschema.

Zitat:

Original von cutzinator
wie kann ich ein link senden?
er sagt mir, dass ich nicht registriert bin -.-

Du hast wahrscheinlich noch zu wenig erstellte Beiträge, um Links posten zu können. Wenn du ein Bild hochladen willst, solltest du das aber sowieso direkt hier im Board machen.

27.08.2015, 19:28

Mathema

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Zitat:

Im Zähler fehlt noch ein Faktor, nämlich der, der ursprünglich schon da stand.

@Nick: Da hast du dich verguckt. Dieses war ja auch dein erster Beitrag:

Zitat:

Bei Aufgaben wie in a) hilft es meist, den Term mit $\begin{eqnarray*} n+\sqrt{n^2+4n} \end{eqnarray*}$ zu erweitern und dann die dritte Binomische Formel anzuwenden.

Und wieder weg. Wink

Wink

27.08.2015, 19:31

Seppelkoi

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Wie es beschrieben wurde zu erweitern, als kleiner anschaulicher Tipp:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2}{1} \end{eqnarray*}$

erweitern beispielsweise mit:

$\begin{eqnarray*} 1-2 \end{eqnarray*}$

würde ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+2)(1-2)}{1(1-2)} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{(1-2)}{(1-2)} = 1 \end{eqnarray*}$ .

So, und nun mit deinem Term smile

smile

27.08.2015, 19:32

10001000Nick1

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Danke, Mathema. Das hatte ich nicht gesehen.

Hier also doch der richtig erweiterte Bruch:
$\begin{eqnarray*} n-\sqrt{n^2+4n}=\frac{(n-\sqrt{n^2+4n})\cdot (n+\sqrt{n^2+4n})}{(n+\sqrt{n^2+4n})} \end{eqnarray*}$
So, jetzt müsste es aber stimmen. Und jetzt du. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2015, 19:35

cutzinator

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Vielen lieben Dank!
So hatte ich es anfangs stehen aber ich dachte mir, dass es falsch ist und war deshalb verwirrt.

Bei bei habe ich es so gerechnet

27.08.2015, 19:41

10001000Nick1

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Ein kleiner Fehler: In der vorletzten Teile läuft die Summe bis $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , nicht bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt bist du schon fast fertig. Du musst nur noch begründen, warum die letzte Gleichung richtig ist.
Der Rest ist OK (wobei man z.B. noch die Induktionsvoraussetzung ergänzen könnte und an welcher Stelle man diese benutzt hat).

27.08.2015, 19:45

cutzinator

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Ah dann habe ich den Fehler bei b, nochmal danke dafür!!!

Ist es richtig, dass ich für den zähler -4 stehen habe?

mit dem Nenner komme ich gerade nicht weiter.

Ist es eigentlich notwendig für n etwas einzusetzen? Kann ich also einfach die Zahl 1 einsetzen oder ist das Unfug?

27.08.2015, 19:53

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cutzinator
Ist es richtig, dass ich für den zähler -4 stehen habe?

Bist du jetzt wieder bei a)? Da müsste im Zähler $\begin{eqnarray*} -4n \end{eqnarray*}$ rauskommen. Danach musst du den Bruch mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kürzen und kannst dann den Grenzwert bestimmen.

Zitat:

Original von cutzinator
Ist es eigentlich notwendig für n etwas einzusetzen? Kann ich also einfach die Zahl 1 einsetzen oder ist das Unfug?

Du willst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ streben lassen. Wie willst du das machen, wenn du 1 einsetzt (oder irgendeine andere Zahl)?

27.08.2015, 20:05

cutzinator

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Gut dann habe ich a) und b) einigermaßen gut verstanden smile

smile

jetzt zu c)

Da ich den Wert einer Reihe bestimmten soll, gucke ich mir die Reihe an und erkenne, dass es eine geometrische Reihe ist.

wenn ich das einsetze habe ich aber

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1-\frac{2}{5}^(k+1) }{1-\frac{2}{5}^k } <br /> \end{eqnarray*}$

Ne kleine frage am rande, wie lange sind user hier in der Regel online und wie lange bist du noch hier?
Ich möchte dir auf jedenfall schon mal für deine Hilf danken, falls du bald weg bist. Ich weiß, dass ich nicht so schlau bin und gerade mal im ersten Semester, aber du hast mich vorm heulen bewahrt Big Laugh

Big Laugh

27.08.2015, 20:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cutzinator
wenn ich das einsetze habe ich aber

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1-\frac{2}{5}^(k+1) }{1-\frac{2}{5}^k } <br /> \end{eqnarray*}$

Wenn du im Nenner den Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ streichst, ist das die k-te Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ (wobei wir vielleicht k in n umbennen sollten; das k wird schon als Laufindex in der Summe benutzt). Es gilt also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left(\frac{2}{5}\right)^k=\frac{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{5}} \end{eqnarray*}$ .
Um $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^k \end{eqnarray*}$ zu berechnen, musst du den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\frac{2}{5}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Du kannst natürlich auch gleich die "fertige" Formel für die geometrische Reihe verwenden, die du sicherlich auch irgendwo stehen hast: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ .

Zuletzt noch etwas zur Notation: Du hast oben geschrieben $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}^{k+1} \end{eqnarray*}$ , da bezieht sich der Exponent nur auf den Zähler. Du meintest aber $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2}{5}\right)^{k+1} \end{eqnarray*}$ . Also: Klammern nicht vergessen. Lieber zu viel als zu wenig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von cutzinator
Ne kleine frage am rande, wie lange sind user hier in der Regel online und wie lange bist du noch hier?

Normalerweise findet man hier tagsüber/am frühen Abend die meisten Helfer, auch später abends tummeln sich noch einige hier rum. Mit ganz viel Glück verirrt sich auch irgendwann nachts noch ein Helfer hierher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin jetzt bald erstmal weg. Vielleicht schaue ich später nochmal rein, versprechen kann ich aber nichts. Je nach Lust und Laune. smile

smile

27.08.2015, 20:28

cutzinator

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Allgemein habe ich das jetzt so verstanden, dass wenn man ein grenzwert ausrechnen soll, man geschickt kürzen oder erweitern soll und dann auflösen um den Grenzwert zu bekommen.

Oder wenn 0/0 unendlich/unendlich muss man den l´hopital anwenden

Bei dem leitet man ja zähler und nenner ab und löst dann auf oder?

________________________

Bei der Induktion gehe ich einfach nach meinem Schema vor und achte darauf ob sie nur bis "n" geht oder "n+1"

______________

wenn ich den Wert einer Reihe bestimmen möchte, schaue ich welche Reihe ich vor mir liegen habe ( Harmonische, alternierende, geometrische) und setze diese in das Schema ein um den Wer zu bestimmen.

War das soweit richtig?

Mein größtes Problem ist noch Aufgabe d) da ich die gar nicht verstehe.
diese konvergenz bei reihen macht mir noch große Sorgen.

Dort schaue ich erst welches Kriterium ich anwenden kann (Quotienten, Wurzel, Major und Minor, Leibniz) und versuche sie dann zu lösen?

27.08.2015, 20:35

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cutzinator
wenn ich den Wert einer Reihe bestimmen möchte, schaue ich welche Reihe ich vor mir liegen habe ( Harmonische, alternierende, geometrische) und setze diese in das Schema ein um den Wer zu bestimmen.

So einfach funktioniert das nur bei geometrischen Reihen. Die harmonische Reihe divergiert und für alternierende Reihen gibt es keine allgemeine Formel.

Zitat:

Original von cutzinator
Mein größtes Problem ist noch Aufgabe d) da ich die gar nicht verstehe.
diese konvergenz bei reihen macht mir noch große Sorgen.

Dort schaue ich erst welches Kriterium ich anwenden kann (Quotienten, Wurzel, Major und Minor, Leibniz) und versuche sie dann zu lösen?

Ja, genau. Das richtige hast du sogar schon genannt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin jetzt, wie gesagt, erstmal weg. Vielleicht bin ich später nochmal da, aber spätestens morgen schaue ich nochmal rein. Wink

Wink

27.08.2015, 20:35

cutzinator

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Kannst du mir noch bitte fix sagen ob ich das auf meine Formelsammlung aufschreiben sollte.
Also wofür brauche ich das genau

27.08.2015, 21:31

cutzinator

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falls da draußen noch jemand ist,
kann er mir bei d) helfen?
ich verstehe es nicht

27.08.2015, 22:11

cutzinator

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okay d wurde gelöst

27.08.2015, 22:27

cutzinator

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Weiter geht es damit
noch jemand da der mir helfen kann?

27.08.2015, 22:51

cutzinator

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Ich brauche unbedingt den lösungsweg von den aufgaben.
ich schreibe morgen um 13 uhr die klausur unglücklich

unglücklich

28.08.2015, 00:14

cutzinator

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Ich werde denjenigen sehr Dankbar, wenn er mir nur eine oder zwei Aufgaben davon komplett löst und ich mir die angucken kann.

also schritt für schritt.

28.08.2015, 09:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von cutzinator
Ich werde denjenigen sehr Dankbar, wenn er mir nur eine oder zwei Aufgaben davon komplett löst und ich mir die angucken kann.

Auch wenn die Zeit drängt, setzt das nicht unsere Boardregeln außer Kraft: Prinzip "Mathe online verstehen!"

Aufgabe 2 ist ja auch nicht sonderlich schwer und sollte von jedem Abiturienten (außer Teil b) gerechnet werden können. Überlege dir für Teil a, was die Funktion an der Stelle x_0 = -1 erfüllen muß, damit sie stetig und differenzierbar wird.
Allerdings muß ich da den Aufgabensteller kritisieren, denn der Begriff "stetig differenzierbar" besagt, daß die 1. Ableitung auch stetig sein soll, was an der Stelle x_0 = -1 nicht zu erreichen ist.

28.08.2015, 09:32

cutzinator

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ja Aufgabe 2 habe ich jetzt einigermaßen mit der Lösung hinbekommen.
aber bei aufgabe 10 weiß ich immer noch keine kösung :/

28.08.2015, 09:55

klarsoweit

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Wenn beispielsweise die Folge a_n gegen einen Grenzwert g konvergiert, dann müßte die Gleichung $\begin{eqnarray*} g = \frac{5-3g}{4} \end{eqnarray*}$ gelten. Löse diese nach g auf. Für den Nachweis der Konvergenz könntest du untersuchen, ob die Folge beschränkt und monoton ist.

28.08.2015, 10:20

cutzinator

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da kommt nicht g = 5/3 raus wenn ich das nach g auflöse oder? Big Laugh

Big Laugh

28.08.2015, 10:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat kommt nicht g = 5/3 raus. Big Laugh

Big Laugh

28.08.2015, 10:23

cutzinator

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g= 5/7 ich depp
oder? Big Laugh

Big Laugh

und monoton wachsend

28.08.2015, 10:30

klarsoweit

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OK. Nun stimmt's. smile

smile

Ein Tipp für die Untersuchung von Beschränktheit und Monotonie: wenn du mal die ersten 4 - 5 Folgenglieder berechnest, solltest du eine Idee bekommen, wohin der Hase läuft.

28.08.2015, 10:36

cutzinator

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also wenn ich die einsetze, ist sie monoton fallend

28.08.2015, 10:52

klarsoweit

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Hm. Bei mir springen die Werte "hin und her". Da habe ich im Moment keine Idee. Bei der Folge b_n sieht die Sache besser aus.

28.08.2015, 12:39

10001000Nick1

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Danke, dass du hier weitergemacht hast, klarsoweit. Nochmal was zu Aufgabe 2:

Zitat:

Original von klarsoweit
Allerdings muß ich da den Aufgabensteller kritisieren, denn der Begriff "stetig differenzierbar" besagt, daß die 1. Ableitung auch stetig sein soll, was an der Stelle x_0 = -1 nicht zu erreichen ist.

Doch, mit $\begin{eqnarray*} a=-1, b=-2 \end{eqnarray*}$ klappt das.

Und eine Idee zu Aufgabe 10a):
Man kann die Folgenglieder explizit angeben: $\begin{eqnarray*} a_n=-\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}-\frac{5}{7}\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^n-1\right] \end{eqnarray*}$ .
Da kann man jetzt sofort den Grenzwert ablesen und hat damit auch den Nachweis der Konvergenz.

28.08.2015, 12:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Doch, mit $\begin{eqnarray*} a=-1, b=-2 \end{eqnarray*}$ klappt das.

Du hast recht. Ich weiß auch nicht, was ich mir da vorhin gedacht habe. geschockt

geschockt

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