Tangentengleichung Wurzel von X

29.08.2015, 19:16

ViefromNihil

Tangentengleichung Wurzel von X

Hi Mathe-Board,

Dies ist mein erster Beitrag,ich hoffe mal ich bin damit auch im Richtigen Board gelandet.
Es geht jedenfalls um folgende Funktion für die man eine Tangentengleichung aufstellen soll.Es handelt sich dabei um eine Mathe Klausuraufgabe aus dem 1.Semester (Naturwissenschaften)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[]{x} \end{eqnarray*}$ P[0;1/2]

Mein erster Ansatz war es x in die 1. ableitung einzusetzen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1/2 * x^{-1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1/2 * 0^{-1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 ---> m=0 \end{eqnarray*}$

Also habe ich nun die Tangentengleichung

$\begin{eqnarray*} 1/2=0*0+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1/2=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=0*x+1/2 \end{eqnarray*}$

Also ich habe versucht das ganze nach Schema durchzurechnen und komme in all meinen Versuchen jedesmal auf offensichtlich falsche Ergebnisse.

Ich wäre wirklich sehr dankbar um jegliche Hilfestellung,habe es nun fast den ganzen Tag selber versucht Hammer

Danke vorab

29.08.2015, 19:28

10001000Nick1

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RE: Tangentengleichung Wurzel von X
Willkommen

im Matheboard! smile

Wie lautet die genaue Aufgabe? Sollst du die Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P(0,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ verläuft und Tangente an den Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

Original von ViefromNihil
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1/2 * 0^{-1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 ---> m=0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} 0^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar. Wenn du dir den Graphen anschaust, sollte dir das auch klar sein: Die Tangente im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ verläuft senkrecht, hat also keinen Anstieg.

29.08.2015, 19:28

Mi_cha

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für welchen Punkt sollst du die Tangentengleichung berechnen?
Der von dir genannte Punkt $\begin{eqnarray*} P(0| \frac 1 2) \end{eqnarray*}$ liegt gar nicht auf $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ verwirrt

29.08.2015, 19:30

Bjoern1982

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Das, was du versuchst, kann man nur dann machen, wenn der Punkt P ein Punkt des Funktionsgraphen ist.
Hier liegt der Punkt P offenbar nicht auf dem Graphen zu f.
Da er jedoch ein Punkt auf der Tangenten g(x)=mx+b ist, gilt in der Tat schon mal b=1/2.
Die passende Steigung m der Tangente erhältst du dadurch, dass im (noch unbekannten) Berührpunkt B(xb|f(xb)) auf jeden Fall f(xb)=g(xb) und f '(xb)=g'(xb) gelten muss (Berührbedingungen).

29.08.2015, 19:35

ViefromNihil

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Die Genau Aufgabenstellung könnt ihr unter e) entnehmen.
Sorry für meine schwammige Ausdrucksweise.

[attach]39002[/attach]

Ich war mir nicht sicher ob x Definiert ist als 0 oder die Null als Platzhalter gedacht ist.

29.08.2015, 19:49

ViefromNihil

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RE: Tangentengleichung Wurzel von X
@10001000Nick1:

Ich versteh leider nicht was du damit meinst,dass $\begin{eqnarray*} 0^{-1/2} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht Differenzierbar ist.
Wie kann ich durch die Funkiton einen Graphen erkennen?

Tut mir leid,mir fehlt es aber zum Verstehen solcher Sachen echt noch an einiges.

29.08.2015, 19:55

10001000Nick1

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Wieso "Platzhalter"? Anscheinend weißt du noch nicht genau, wie das Ganze aussehen soll, deswegen hier eine Skizze:
[attach]39003[/attach]

Die Tangente soll durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P(0,\frac 1 2) \end{eqnarray*}$ verlaufen. Das heißt aber nicht, dass die Tangente in diesem Punkt an den Graphen gelegt werden soll (was, wie oben schon gesagt, gar nicht geht).
Du musst jetzt also den Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmen, damit kommst du dann auch auf die Tangentengleichung. Wie das geht, hat Björn schon kurz erläutert (bloß, dass der Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bei ihm $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ heißt). smile

Zitat:

Original von ViefromNihil
Ich versteh leider nicht was du damit meinst,dass $\begin{eqnarray*} 0^{-1/2} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist

Es ist doch $\begin{eqnarray*} x^{-\frac 1 2}=\frac{1}{x^{\frac 1 2}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ . Und da siehst du, dass $\begin{eqnarray*} x^{-\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ nur definiert ist, falls $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt, würdest du durch 0 dividieren.
Der Graph einer Funktion ist, einfach gesagt, das, was du siehst, wenn du die Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnest. Der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also das Grüne in meiner Skizze.

30.08.2015, 15:10

ViefromNihil

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Danke erstmal an alle für die Hilfreichen Antworten!
Hat für das generelle Verständnis eine Menge gebracht.

Ich wusste schon was ein Graph ist,jedoch nicht wie ich diesen an der Stammfunktion hätte ablesen können,da hab ich mich sehr dumm angestellt.Aber danke für die kompakte Erklärung Big Laugh

Mein Lösungsansatz ist nun folgender:

$\begin{eqnarray*} B(a|\sqrt{a}) f'(x)=1/2x^-1/2 y=m*x+b 1/2=1/2a^{-1/2} *a +1/2 ---> |* 2/1 1=a^{1/2} + 1/2 ---> |- 1/2 1/2=a^{1/2} ---> |ln 1/2=(1/2) ln a ---> |*2/1 1=a f(1)=\sqrt{1} y=1 \end{eqnarray*}$

Ich war mir nicht wirklich sicher bzgl der Anwendung des Logarithmus,sprich ob ich den Linken Ausdruck ebenfalls logarithmieren muss,jedoch wäre dann das Ergebnis falsch...deshalb bin ich mir nicht sicher ob mein Lösungsweg überhaupt richtig ist.Die koordinaten scheinen es jedenfalls zu sein... verwirrt

Einen schönen Sonntag noch

P.S: Entschuldigt die chaotische Formatierung des Rechenweges,ich weiss nicht wie ich die linksbündigkeit einbehalten kann.

30.08.2015, 17:42

10001000Nick1

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Hmm, ich verstehe nicht wirklich, was du da machen willst. Außerdem sind ein paar Umformungsfehler drin: Gleich am Anfang multiplizierst du die Gleichung mit 2, vergisst aber den letzten Summanden auf der rechten Seite. Wenn du logarithmieren willst, dann natürlich auf beiden Seiten. Und wieso der Logarithmus am Ende einfach verschwindet, verstehe ich auch nicht.

Aber wie gesagt, mit diesem Ansatz kommst du sowieso nicht zum Ziel (die Gleichung hat überhaupt keine Lösung Augenzwinkern

). Machen wir es anders: Du weißt, dass der Anstieg der Tangente $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt kannst du den Anstieg aber noch auf eine andere Weise berechnen: Du hast zwei Punkte auf der Geraden, nämlich $\begin{eqnarray*} (0,\frac 1 2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,\sqrt{a}) \end{eqnarray*}$ . Was ist der Anstieg einer Geraden durch diese beiden Punkte?
Diese beiden Anstiege müssen übereinstimmen; du erhältst also eine Gleichung, aus der du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst.

Zitat:

Original von ViefromNihil
P.S: Entschuldigt die chaotische Formatierung des Rechenweges,ich weiss nicht wie ich die linksbündigkeit einbehalten kann.

Einfach für jede Zeile neue LATEX-Tags beginnen. Irgendwie kann man das auch noch "schöner" machen und z.B. die Gleichheitszeichen untereinander stellen, aber das wäre hier zu viel Aufwand. Augenzwinkern

30.08.2015, 20:02

ViefromNihil

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Okay,dann war da ja ma total daneben was ich versucht habe,hatte es shcon vermutet.Immerhin....

Aber ich bin nun wirklich leicht überfragt.
Ich weiss nur,dass man die Steigung einer Geraden mittels $\begin{eqnarray*} m=(y2 - y1)/(x2-x1) \end{eqnarray*}$ berechnen kann was in diesem fall $\begin{eqnarray*} m=(\sqrt(a) - 1/2)/a-0 \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Ich wüsste aber auch nicht wie ich den ausdruck ausrechnen könnte,
Ebenso wenig weiss ich ,dass der Anstieg der Tangente $\begin{eqnarray*} 1/(2\sqrt(a)) \end{eqnarray*}$ ist.
Tut mir wirklich leid,aber ich bin in Mathe wirklich der totale Versager.

30.08.2015, 20:30

10001000Nick1

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Zitat:

Original von ViefromNihil
Ich weiss nur,dass man die Steigung einer Geraden mittels $\begin{eqnarray*} m=(y2 - y1)/(x2-x1) \end{eqnarray*}$ berechnen kann was in diesem fall $\begin{eqnarray*} m=(\sqrt(a) - 1/2)/\textcolor{red}{(}a-0\textcolor{red}{)} \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Genau.

Da brauchst (und kannst) du erstmal nichts weiter ausrechnen.
(Die Klammern um den Nenner machen hier zwar ausnahmsweise mal keinen Unterschied, aber normalerweise müssen da welche hin.)

Zitat:

Original von ViefromNihil
Ebenso wenig weiss ich ,dass der Anstieg der Tangente $\begin{eqnarray*} 1/(2\sqrt(a)) \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} a: f'(a)=\frac{1}{2\sqrt a} \end{eqnarray*}$ .
Und die Ableitung an einer Stelle gibt den Anstieg der Tangente an dieser Stelle an (das hast du sicherlich schon mal gehört).
Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt a} \end{eqnarray*}$ der Anstieg der Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. im Punkt $\begin{eqnarray*} (a,\sqrt{a}) \end{eqnarray*}$ . Alles klar? smile

Jetzt hast du zwei Terme, die das selbe ausdrücken. Du kannst sie also gleichsetzen und die Gleichung dann nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen.

Zuletzt noch ein Hinweis zum LATEX: Für eine Wurzel musst du den Code \sqrt{...} benutzen, nicht \sqrt(...).

30.08.2015, 21:15

ViefromNihil

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Okay dann habe ich das Grundsätzliche Prinzip erstmal verstanden.Jedoch muss ich wohl nochmal die Grundrechenregeln auffrischen.Danke aber nochmal für die super Hilfe.

Meine Rechnung sieht nun wie folgt aus:
verwirrt

$\begin{eqnarray*} 1/(2\sqrt{a}) = (\sqrt{a} - 1/2)/(0-a) --->|*1/\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/(2\sqrt{a^2})= (-1/2)/a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/(2a) = (-1/2)/a --->|*a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/a = - 1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a =-2 \end{eqnarray*}$

30.08.2015, 22:36

10001000Nick1

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Das kann schon mal nicht stimmen, denn für negative Zahlen ist die Wurzelfunktion (im Reellen) überhaupt nicht definiert.

In der ersten Zeile muss $\begin{eqnarray*} a-0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , im Nenner stehen; nicht $\begin{eqnarray*} 0-a=-a \end{eqnarray*}$ .
Bei dir ist also $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a}-\frac{1}{2}}{a}\cdot \frac{1}{\sqrt a}=\frac{-\frac 1 2}{a} \end{eqnarray*}$ ? Da würde ich nochmal drüber nachdenken. Augenzwinkern

Tipp: Beseitige zuerst die Nenner.

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