[Mengenlehre] Elemente einer nicht genau definierten Menge auflisten

01.09.2015, 12:33

Ungelehrter

[Mengenlehre] Elemente einer nicht genau definierten Menge auflisten

Hallo,

ich habe eine nicht näher definierte Menge. Ich weiß nur folgendes:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq |M| \leq \infty \end{eqnarray*}$

Wie kann ich daraus die Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ universal aufzählen, bzw. ihre Elemente beschreiben?

z.B.
$\begin{eqnarray*} M = \{m_1, ..., m_n \mid m_1 \leq ... \leq m_n\} \end{eqnarray*}$

Wäre eine Möglichkeit, ist aber unvollständig, da hier mindestens zwei Elemente, nämlich $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden. Da es eine Menge ist, kann auch nicht $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ gelten.

Muss ich hier 3 mal definieren?
Einmal, wie oben, für mehr als 1 Element,
einmal für genau 1 Element und
einmal für 0 Elemente?

01.09.2015, 13:46

Leopold

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Die Aussage $\begin{align*} 0 \leq |M| \leq \infty \end{align*}$ ist nichtssagend, da sie für jede Menge erfüllt ist. Ich gehe dabei davon aus, daß du $\begin{align*} \infty \end{align*}$ in allen Fällen verwendest, bei denen die Kardinalität von $\begin{align*} M \end{align*}$ nicht endlich ist.

Eine Schreibweise wie $\begin{align*} m_1,\ldots,m_n \end{align*}$ wird im Falle $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ als einelementige Liste $\begin{align*} m_1 \end{align*}$ interpretiert. Auch wenn man etwa $\begin{align*} m_1,m_2,m_3, \ldots, m_n \end{align*}$ schreibt, ist nicht implizit vorausgesetzt, daß die Liste mindestens vier Elemente enthält. Sie könnte auch weniger als vier Elemente enthalten, möglicherweise sogar leer sein.

Die Tatsache, daß eine Menge nur durch ihre Elemente bestimmt ist, also ein Element nicht mehrfach in einer Menge enthalten sein kann, bedeutet nicht, daß es verboten wäre, ein Element mehrfach aufzuführen. Die Menge

$\begin{align*} P = \left\{ \, t^2 \, \left| \ t \in \mathbb{R} \right. \right\} \end{align*}$

enthält genau die nichtnegativen reellen Zahlen, jede genau einmal, obwohl jede positive Zahl zweimal erwähnt wird.

01.09.2015, 15:26

Ungelehrter

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@Leopold
Vielen Dank für deine Anteilnahme. Mathjax verursacht in meinem Brower leider Probleme. Ich konnte deinen Beitrag dennoch lesen, dank schnellem Suchen/Ersetzen: "mathjax" durch "latex".

Zitat:

Leopold
Eine Schreibweise wie $\begin{align*} m_1,\ldots,m_n \end{align*}$ wird im Falle $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ als einelementige Liste $\begin{align*} m_1 \end{align*}$ interpretiert. Auch wenn man etwa $\begin{align*} m_1,m_2,m_3, \ldots, m_n \end{align*}$ schreibt, ist nicht implizit vorausgesetzt, daß die Liste mindestens vier Elemente enthält. Sie könnte auch weniger als vier Elemente enthalten, möglicherweise sogar leer sein.

Ok, das hätte ich jetzt nicht gedacht.

Zitat:

Leopold
Die Tatsache, daß eine Menge nur durch ihre Elemente bestimmt ist, also ein Element nicht mehrfach in einer Menge enthalten sein kann, bedeutet nicht, daß es verboten wäre, ein Element mehrfach aufzuführen.

Das verwirrt mich sehr!

In der Mathematik kann ja nicht davon ausgegangen werden, dass aus einer unterschiedlichen Bezeichnung von Variablen resultiert, dass der Inhalt der Variable ebenfalls unterschiedlich ist.

(1) Heißt das jetzt, ich kann nicht davon ausgehen, dass aus $\begin{eqnarray*} M = \{m_1, ..., m_n\} \Rightarrow m_1 \neq ... \neq m_n \end{eqnarray*}$

(2) Was genau wird dann mit der Kardinalität einer Menge ausgedrückt? Die Anzahl von einander verschiedener Elemente oder tatsächlich alle Elemente, einschließlich der, die mehrfach vorkommen.
$\begin{eqnarray*} |\{a, b, b, c\}| = 3 \end{eqnarray*}$ ? Oder tatsächlich 4? $\begin{eqnarray*} a, b, c \end{eqnarray*}$ sind keine Variablen, sondern die konkreten Elemente.

01.09.2015, 15:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ungelehrter
$\begin{eqnarray*} |\{a, b, b, c\}| = 3 \end{eqnarray*}$ ?

Richtig - es ist einfach $\begin{eqnarray*} \{a, b, b, c\} = \{a, b, c\} \end{eqnarray*}$ , mehrfach aufgeführte Elemente zählen nur einmal.

01.09.2015, 16:57

Ungelehrter

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Und wie schaut es hiermit aus?

Zitat:

Original von Ungelehrter
(1) Heißt das jetzt, ich kann nicht davon ausgehen, dass aus $\begin{eqnarray*} M = \{m_1, ..., m_n\} \Rightarrow m_1 \neq ... \neq m_n \end{eqnarray*}$

01.09.2015, 16:59

HAL 9000

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So ist es, d.h., du kannst nicht davon ausgehen, wenn nichts weiter dazu gesagt wird.

01.09.2015, 18:00

Ungelehrter

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Gut ... . Hoffentlich letzte Frage.

Um ein Produkt, genauer ein kartesischen Produkt, zu bilden, sind doch mindestens zwei Mengen erforderlich. Andernfalls kann man diese Operation ja wohl kaum ausführen, richtig?

Ist die Formel

$\begin{eqnarray*} M_1 \times ... \times M_n \end{eqnarray*}$

ohne die Angabe $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ falsch?

Für $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ würde das ganze ja, laut Leopold, einelementig werden. Und wenn wir nur $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ hätten, womit wollten wir dann multiplizieren?

01.09.2015, 19:18

HAL 9000

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Für n=1 ist einfach $\begin{eqnarray*} M_1 \times \ldots \times M_n = M_1 \end{eqnarray*}$ .

01.09.2015, 20:28

Leopold

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Zitat:

Original von Ungelehrter
(1) Heißt das jetzt, ich kann nicht davon ausgehen, dass aus $\begin{eqnarray*} M = \{m_1, ..., m_n\} \Rightarrow \color{red} m_1 \neq ... \neq m_n \end{eqnarray*}$

Ich verstehe, was du damit sagen willst. Aber betrachte einmal die folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} 1 \neq 5 \neq 1 \end{eqnarray*}$

Um es hochtrabend zu sagen: Die Ungleichheit ist keine transitive Relation.

02.09.2015, 08:36

Ungelehrter

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Ja, stimmt. Du hast recht ... .

Nun gut. Dann sei das Thema durch.

02.09.2015, 09:02

Ungelehrter

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Noch mal zurück. Wir sind leider noch nicht ganz durch ...

https://de.wikipedia.org/wiki/Relationale_Algebra

Dort ist der Semi-Join wie folgt definiert:

Für zwei Relationen $\begin{eqnarray*} R(A_1, ..., A_n, B_1, ..., B_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(B_1, ..., B_n, C_1, ..., C_n) \end{eqnarray*}$ ist das Ergebnis des halben natürlichen Verbundes:

$\begin{eqnarray*} R \ltimes S:= \{ r | r \in R \land s \in S \land r_{[B_1, ..., B_n]} =s_{[B_1, ..., B_n]} \} \end{eqnarray*}$

Nach den hier gewonnenen Erkenntnissen, stören mich an dieser Definition mehrere Sachen.

Ich weiß, dass mit $\begin{eqnarray*} r_{[B_1, ..., B_n]} \end{eqnarray*}$ die Reduzierung des Tupels auf die in $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ Werte gemeint ist.

Die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} r_{[B_1, ..., B_n]} = s_{[B_1, ..., B_n]} \end{eqnarray*}$
ist nun jedoch fragwürdig. Was ist denn, wenn $\begin{eqnarray*} A_1 = C_1 \end{eqnarray*}$ ?
Dann müssten auch diese Werte in den Tupeln übereinstimmen. Dieser Fall wird von der Definition aber nicht abgefangen

Mit $\begin{eqnarray*} R(A_1, ..., A_n, B_1, ..., B_n) \end{eqnarray*}$ ist wohl $\begin{eqnarray*} R \subseteq A_1 \times ... \times A_n \times B_1 \times ... \times B_n) \end{eqnarray*}$ gemeint

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