Integral von arcsin(x) dx

01.09.2015, 13:27

ruther

Integral von arcsin(x) dx

Hallo, ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter.. ich integriere zunächst partiell und substituiere dann.. Wolfram Alpha sagt mir das Integral von 1 / sqrt(z) ist 2*sqrt(z), ich weiß aber nicht wieso..

Hier mein Ansatz:
[attach]39016[/attach]

Das Endergebnis soll lauten x * arcsin(x) + sqrt(1-x^2)

Hoffe mir kann jemand helfen smile

mfG,
Tim

01.09.2015, 13:34

ruther

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ok, ich bin dumm.. 1/ sqrt(z) ist natürlich das selbe wie z^(-1/2).. werde meine lösung gleich editieren...

[attach]39017[/attach]

01.09.2015, 13:51

klarsoweit

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Ggf. kommt noch eine Integrationskonstante zu. Ansonsten paßt es. Freude

01.09.2015, 13:52

Gast11022013

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Dein z sieht wie eine 2 aus.
Das selbe Problem habe ich bei Substitutionen auch.
Es ist auch egal was ich tue. Mein z sieht aus wie eine 2, mein u wie eine 4, mein v wie ein u und von meinem t brauch ich gar nicht erst anfangen zu reden.
Und das sind leider auch schon alle Buchstaben die für eine Substitution erlaubt sind...

Ich empfehle dir also ein Strich durch dein z zu machen um auch selber nicht durcheinander zu kommen und Korrektoren klar zu machen, dass du keine 2 meinst.

Das sollte richtig sein. Du erhältst ja immerhin das korrekte Ergebnis.

Einfacher bekommst du es mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} u=1-x^2 \end{eqnarray*}$

welche ich auch am intuitivsten finde. Das ist aber wohl Ansichtssache.

01.09.2015, 13:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von MagFassLehrt
Und das sind leider auch schon alle Buchstaben die für eine Substitution erlaubt sind...

Gibt es das als Gesetzestext? Big Laugh

01.09.2015, 13:55

Gast11022013

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Nein, das war nur ein Scherz. Aber die Mehrzahl der als Substitution verwendeten Buchstaben sind nunmal z,u, v und t. Manchmal ein a. Und alle diese Buchstaben liegen mir nicht besonders.

01.09.2015, 14:18

Leopold

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@ ruther

Deine Rechnung ist nicht ganz korrekt. Und zwar stimmt der Weg nicht, auch wenn du letztlich zum Ziel kommst. Wie kann das sein?

Nun, du hast unterwegs einmal $\begin{align*} x^2 = a \end{align*}$ aufgelöst: $\begin{align*} x = \sqrt{a} \end{align*}$ . Und das stimmt nur für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ . Also ist die Herleitung auch nur für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ gültig. Puristen (also Leute, die noch pingeliger sind) könnten sogar den Fall $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ in Zweifel ziehen, denn Differenzierbarkeit erfordere offene Definitionsmengen. Da können wir uns aber mit dem Hinweis auf rechtsseitige Differenzierbarkeit herausreden.

Warum substituierst du übrigens nicht gleich $\begin{align*} t = 1-x^2 \end{align*}$ ? Dann bekommst du

$\begin{align*} \dd t = -2x ~ \dd x \ \ \Leftrightarrow \ \ x ~ \dd x = - \frac{1}{2} ~ \dd t \end{align*}$

und erhältst sofort

$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = - \frac{1}{2} \int \frac{\dd t}{\sqrt{t}} = - \sqrt{t} = - \sqrt{1 - x^2} \end{align*}$

@ klarsoweit

Jaja, die Sache mit der Integrationskonstanten ...
Ein Bände füllendes Werk könnte ich dazu verfassen. Nur reicht leider der Platz am Rand nicht aus.

@ HAL 9000

Daß das mit den zugelassenen Substitutionsbuchstaben noch nicht gesetzlich geregelt ist! Kann es sein, daß es in Deutschland noch ungeregelte Bereiche des Lebens gibt? Wie soll man so etwas ertragen!

@ MagFassLehrt

Na ja, wie sieht es aus mit $\begin{align*} \gamma, \zeta, \eta, \vartheta, \xi, \varrho, \sigma, \tau, \varphi, \psi, \omega \end{align*}$ ? Ganz zu schweigen von den anderen griechischen Buchstaben. Aber ich wollte nur mal die in diesem Zusammenhang gebräuchlichsten aufführen.

01.09.2015, 14:18

ruther

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Danke, habs nochmal mit der anderen Substitution versucht und ist tatsächlich ein wenig intuitiver smile

Was ich mich noch frage.. beim linken Part der Partiellen Integration, muss ich da eigentlich auch die Integrationskonstante anhängen?

Prof meinte es reicht wenn wir sie am Schluss anhängen, aber muss an den linken Teil auch noch ein + c ?

Zitat:

Original von Leopold
@ ruther

Deine Rechnung ist nicht ganz korrekt. Und zwar stimmt der Weg nicht, auch wenn du letztlich zum Ziel kommst. Wie kann das sein?

Nun, du hast unterwegs einmal $\begin{align*} x^2 = a \end{align*}$ aufgelöst: $\begin{align*} x = \sqrt{a} \end{align*}$ . Und das stimmt nur für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ . Also ist die Herleitung auch nur für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ gültig. Puristen (also Leute, die noch pingeliger sind) könnten sogar den Fall $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ in Zweifel ziehen, denn Differenzierbarkeit erfordere offene Definitionsmengen. Da können wir uns aber mit dem Hinweis auf rechtsseitige Differenzierbarkeit herausreden.

Warum substituierst du übrigens nicht gleich $\begin{align*} t = 1-x^2 \end{align*}$ ? Dann bekommst du

$\begin{align*} \dd t = -2x ~ \dd x \ \ \Leftrightarrow \ \ x ~ \dd x = - \frac{1}{2} ~ \dd t \end{align*}$

und erhältst sofort

$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = - \frac{1}{2} \int \frac{\dd t}{\sqrt{t}} = - \sqrt{t} = - \sqrt{1 - x^2} \end{align*}$

Hmja gut da haste eigentlich recht smile

Zu deinem Substitutionsweg hab ich noch ne Frage,.. in der Vorlesung haben wir es IMMER so gemacht dass wir beim substituieren nach x umgestellt haben und dann dx gebildet haben.. natürlich wärs hier viel leichter beim substituieren direkt nach du abzuleiten so wie du es gemacht hast.. das habe ich bei einer anderen Aufgabe ebenfalls so gemacht und ein Tutor (ebenfalls Studenten aus höheren Semestern) meinte ich sollte das lieber nicht so machen sondern immer stur nach x umstellen weils in der Vorlesung auch so war..

Sollte ich das einfach ignorieren? Das würde doch kein Prof der Welt als falsch anstreichen wenn ich nicht erst nach x umstelle sondern direkt du bilde oder?

edit: nochmal zur verdeutlichung:
[attach]39022[/attach]

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