Doppelbruch vereinfachen

01.09.2015, 17:51

felixd

Doppelbruch vereinfachen

Hallo,

ich habe folgenden Doppelbruch den ich vereinfachen soll:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{a - b} } \end{eqnarray*}$

Das Problem das ich nicht weiss wie ich anfangen soll, ich denke villeicht die Nenner gleichnamig machen.
Hat jemand eine Idee?

01.09.2015, 17:55

Mathema

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Kümmere dich doch erstmal um den Nenner vom 2. Summanden. Schreibe diesen als ein Bruch.

edit: Falls du noch keine ganzen/rationalen Zahlen kennst (ich denke aber schon): Dann ist es der Subtrahend natürlich. Augenzwinkern

01.09.2015, 18:12

felixd

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okay das heißt ich mache den Nenner des 2. Summanden gleichnamig

also:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{\frac{a-b}{a-b} - \frac{a}{a-b} } \end{eqnarray*}$

???

01.09.2015, 18:14

Mathema

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Jap. Nun den Nenner als ein Bruch schreiben und den Zähler vereinfachen.

Was erhältst du?

01.09.2015, 18:20

felixd

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okay das heißt

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{\frac{a-b-a}{a-b} } \end{eqnarray*}$

01.09.2015, 18:21

felixd

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Wie sollte ich jetzt den Zähler vereinfachen?

01.09.2015, 18:21

Mathema

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Ja - ich hatte auch noch geschrieben, dass du den Zähler vereinfachen kannst. Was ergibt $\begin{eqnarray*} a-b-a \end{eqnarray*}$ ?

01.09.2015, 18:35

felixd

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$\begin{eqnarray*} a-b-a = -b \end{eqnarray*}$

und jetzt?

Sollte ich mit diesem Nenner die "1" ganz vorne gleichnamig machen ???

01.09.2015, 18:37

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a-b-a = -b \end{eqnarray*}$

Jap.

Zitat:

und jetzt?

Jetzt beseitigst du erstmal deinen Doppelbruch.

01.09.2015, 18:46

felixd

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Gut ich denke mal ich bilde dann den Kehrwert und multipliziere das ganze mit der 1

also das heisst dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} * \frac{a-b}{-b} \end{eqnarray*}$

sodass dann da steht

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{a-b}{-b} \end{eqnarray*}$

ist das richtig soweit?

01.09.2015, 18:54

Mathema

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Richtig. Dann kannst du das Minuszeichen aus dem Nenner vor deinen Bruch ziehen und die 2 Rechenzeichen durch eines ersetzen. Anschließend Hauptnenner bilden und dann geht es weiter...

01.09.2015, 19:01

felixd

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Okay das mit dem Vorzeichen muss ich machen da ich mit einer negativen Summe keinen Hauptnenner bilden darf oder warum??

Gut das heisst

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{a-b}{b} \end{eqnarray*}$

und anschließend

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{b} + \frac{a - b}{b} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{b+a-b}{b} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

01.09.2015, 19:08

Mathema

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Nein - es wird nur einfacher. Du kannst auch einen negativen Hauptnenner bilden:

$\begin{eqnarray*} \frac{-b}{-b}-\frac{a-b}{-b}=\frac{-b-(a-b)}{-b}=\frac{-b-a+b}{-b}=\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Da die Erfahrung zeigt, dass beim Auflösen einer Minusklammer häufig Vorzeichenfehler passieren, ist es einfacher die Differenz als Summe zu schreiben.

Dass dein Ergebnis richtig ist, brauche ich nun ja nicht mehr zu erwähnen.

01.09.2015, 19:45

felixd

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OKay Vielen Dank.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{m+1}{m-1}-1 }{1+\frac{m+1}{m-1} } \end{eqnarray*}$

wie siehts jetzt hier aus?

wenn ich den Zähler also

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m-1}-1 \end{eqnarray*}$

subtrahiere bekomme ich 0 raus, was ja nicht sein darf oder?

im untenstehenden Nenner also

$\begin{eqnarray*} {1+\frac{m+1}{m-1} } \end{eqnarray*}$

würde nach dem gemeinsamen addieren raus kommen

$\begin{eqnarray*} \frac{2m}{m-1} \end{eqnarray*}$

01.09.2015, 19:52

Mathema

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Eigentlich eröffnet man hier für eine neue Aufgabe einen neuen Thread, aber ok - dann besprechen wir das noch hier:

Zitat:

wenn ich den Zähler also

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m-1}-1 \end{eqnarray*}$

subtrahiere bekomme ich 0 raus, was ja nicht sein darf oder?

Natürlich darf der Zähler 0 sein, nur der Nenner eines Bruchs darf nicht 0 sein, da man nicht durch 0 dividieren darf.

Dennoch ist es verkehrt. Rechne mal vor bitte.

02.09.2015, 08:32

felixd

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Okay alles klar.

Für den Zähler:

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m-1} - 1 \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m-1} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1-m-1}{m-1} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{m-1} \end{eqnarray*}$

so würde ich das machen oder habe ich vergessen irgendwo zu kürzen vorher?

02.09.2015, 09:08

klarsoweit

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Nein, du hast - was gerne gemacht wird - keine Klammern gesetzt:

Zitat:

Original von felixd
$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m-1} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1-m-1}{m-1} \end{eqnarray*}$ =

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m-1} =\frac{m+1-(m-1)}{m-1} \end{eqnarray*}$

02.09.2015, 13:44

Mathema

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Das hatte ich befürchtet. Es hätte dir durchaus auffallen können, wenn du deine Rechnung mal mit meiner Rechnung von der vorherigen Aufgabe verglichen hättest:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-b}{-b}-\frac{a-b}{-b}=\frac{-b-(a-b)}{-b}=\frac{-b-a+b}{-b}=\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Anscheinend hätte ich dich dort also schon zur Subtraktion zwingen sollen, und nicht durch eine Umwandlung zur Addition vereinfachen dürfen. Aber gut, nun weißt du es und vergisst es hoffentlich nie wieder. Augenzwinkern

02.09.2015, 17:40

felixd

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Alles klar vielen Dank für die Hilfe, deshalb tuhe ich mich wahrscheinlich so schwer diese Art von Aufgaben zu lösen

Als Zähler kommt dann raus

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{m-1} \end{eqnarray*}$

d.h. es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{m-1} : \frac{2m}{m-1} \end{eqnarray*}$

anschließen bildet man den Kehrwert des zweiten Bruch und multipliziert, sodass man danach die

$\begin{eqnarray*} (m-1) \end{eqnarray*}$ weg kürzen kann.

Das übrg bleibt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2m} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$

02.09.2015, 17:45

Mathema

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Ja - wobei nun wieder eine Zahl zulässig wäre, die vorher auf jeden Fall ausgeschlossen werden muss. Welche Zahl ist das?

02.09.2015, 17:59

felixd

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Ich versteh nicht so ganz...

02.09.2015, 18:04

Mathema

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Nun - wir sind etwas "schlampig" vorgegangen. Wir haben es ja mit diesem Bruch zu tun:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{m+1}{m-1}-1 }{1+\frac{m+1}{m-1} } \end{eqnarray*}$

Und nun gilt es eigentlich zunächst mal den Definitionsbereich anzugeben. Welche Zahlen dürfen wir für m nicht einsetzen?

Dazu hatte ich hier schon mal folgendes geschrieben:

Zitat:

Natürlich darf der Zähler 0 sein, nur der Nenner eines Bruchs darf nicht 0 sein, da man nicht durch 0 dividieren darf.

02.09.2015, 18:28

felixd

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Das bedeutet für m dürfen wir keine 0 einseten da sonst der Nenner 0 wäre, was ja nicht sein darf.

02.09.2015, 18:34

Mathema

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Das ist schon mal richtig:

Welcher Nenner? Dieser:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{m+1}{m-1}-1 }{\textcolor{red}{1+\frac{m+1}{m-1}} } \end{eqnarray*}$

Nachgerechnet:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{0+1}{0-1}=1+\frac{1}{-1}=1-1=0 \end{eqnarray*}$

Dass ich nicht 0 einsetzen darf, sehe ich aber auch deinem vereinfachten Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ an. Es gibt aber noch eine Zahl, die du in deinen Ausgangsterm nicht einsetzen darfst. Und dieses sieht man deinem vereinfachten Term nicht mehr an. Beachte du hast einen Doppelbruch, da gibt es nicht nur einen Nenner.

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