Boolsche Algebra (Kardinalfunktionen)

03.09.2015, 07:43	Ezio1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag, ich versuche zur Zeit en paar Beweise zu verstehen bezüglich Kardinal-Funtionen in Boolschen Algebras... Hier ist der Artikel. Wenn jemand was dazu weiß, ich werde die Beweise jetzt ins deutsche übersetzen und die stellen anzeigen wo ich probleme habe. Wäre über Erklärungen sehr erfreut (Schonmal im Vorfeld: es handelt sich um die lemma 4.2, 4.3 und 4.4... Frage in den Hochschulbereich verschoben. Außerdem fünf Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht und es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen Ein paar definitionen die nötig sind: Eine unteralgebra A ist dicht in der algebra B, wenn es für jedes $\begin{eqnarray} b \in B \backslash \{0\} \end{eqnarray}$ , ein $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ gibt sodass $\begin{eqnarray} 0 < a \leq b \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \pi(B) = min\{\|A\|: A \: ist \: dicht \: in B\} \end{eqnarray}$ . A(u) ist die unteralgebra erzeugt durch $\begin{eqnarray} A \cup \{u\} \end{eqnarray}$ . Lemma 4.3: Es seien eine boolsche $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ - homogene Algebra C und zwei disjunkte unteralgebras A und B, sodass $\begin{eqnarray} \|A\|, \|B\| < \pi(C) \end{eqnarray}$ und ein element $\begin{eqnarray} c \in C \backslash\{0\} \end{eqnarray}$ . Es gibt also ein $\begin{eqnarray} u \in C \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} 0< u \leq c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A(u) \cap B = 2 \end{eqnarray}$ . Beweis: Die Unteralgebra E, erzeugt durch $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ ist keine dichte Unteralgebra von C durch die Hypothese dass C $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -homogen ist. Wir nehmen also $\begin{eqnarray} 0 < u \leq c \end{eqnarray}$ , sodass es kein Element $\begin{eqnarray} e \in E \end{eqnarray}$ gibt welches unter u liegt ( $\begin{eqnarray} e \nleq u \end{eqnarray}$ ).. Es sei ein $\begin{eqnarray} b \in A(u) \cap B \end{eqnarray}$ , dieses lässt sich also in folgender Form schreiben: $\begin{eqnarray} b = (a \wedge u) \vee (\alpha \wedge u^) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a, \alpha \in A \end{eqnarray}$ . Wir bemerken dass $\begin{eqnarray} b \wedge u^* = \alpha \wedge u^* \end{eqnarray}$ , dadurch schlussfolgern wir dass $\begin{eqnarray} e = (b \wedge \alpha^) \vee (b^ \wedge \alpha) \end{eqnarray}$ unter u liegt Warum liegt e unter u?. Den Rest von dem Beweis verstehe ich.. Nächstes lemma: Es sei eine $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -homogene Boolesche Algebra C. Es gibt also ein paar $\begin{eqnarray} (A,B) \end{eqnarray}$ von disjunkten Unteralgebras, welche dicht in C sind. Beweis: Wir schreiben $\begin{eqnarray} \kappa = \pi(C) \end{eqnarray}$ und es sei eine dichte Untermenge $\begin{eqnarray} \{c_i: i < \kappa\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} C \backslash \{0\}. \end{eqnarray}$ Wir definieren also per transfinite Induktion Elemente $\begin{eqnarray} a_i, b_i, i < \kappa \end{eqnarray}$ . Lasset uns noch folgende Zeichen definieren: wenn j < \kappa: $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ ist die Unteralgebra welche durch $\begin{eqnarray} \{a_i: i < j\} \end{eqnarray}$ erzeugt wurde, $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist die Unteralgebra welche durch $\begin{eqnarray} \{a_i: i < \kappa\} \end{eqnarray}$ erzeugt wurde. Wenn j < \kappa: $\begin{eqnarray} B_j \end{eqnarray}$ ist die Unteralgebra welche durch $\begin{eqnarray} \{b_i: i < j\} \end{eqnarray}$ erzeugt wurde, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist die Unteralgebra welche durch $\begin{eqnarray} \{b_i: i < \kappa\} \end{eqnarray}$ erzeugt wurde. Weil $\begin{eqnarray} \|A_i\|,\|B_i\| < \kappa \end{eqnarray}$ , können wir durch das vorherige lemma ein ein $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ fixieren sodass $\begin{eqnarray} 0 < a_i \leq c_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_i(a_i) \cap B_i = 2 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} A_{i+1} \cap B_i = 2 \end{eqnarray}$ . Dasselbe macht man für ein $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ . Man hat also $\begin{eqnarray} A_k \cap B_k = 2 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} k < \kappa \end{eqnarray}$ , demnach $\begin{eqnarray} A \cap B = 2 \end{eqnarray}$ . dies kann man also durch die transfinite Induktion behaupten? Es tut mir wirklich leid, habe vergessen zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -homogen folgendes bedeutet: C ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -homogen, wenn $\begin{eqnarray} \pi(C) = \pi(C \upharpoonright c) \end{eqnarray}$ , für jede nicht-triviale relative Algebra $\begin{eqnarray} \pi(C \upharpoonright c) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . letztes Lemma: Es sei eine komplette Bollesche Algebra C ohne Atome. Es gibt also ein Paar $\begin{eqnarray} (A,B) \end{eqnarray}$ von disjunkten Unteralgebras, welche dicht in C sind. Beweis: Durch a note for complete boolean algebras (von Pierce), bei Interesse einfach auf google eingeben, aber hierzu habe ich keine Frage... wissen wir dass C isomorph zu einem Produkt von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -homogenen Algebras ist, wir schreiben zur Einfachheit: $\begin{eqnarray} C = \prod_{i \in I}C_i \end{eqnarray}$ , wo jedes $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ komplett, ohne Atome, und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -homogen ist. Durch das vorherige lemma kann man disjunkte, dichte Unteralgebras $\begin{eqnarray} A_i, B_i \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ finden. Als nächstes fixieren wir ein dichtes Ideal $\begin{eqnarray} J_i \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ (es reicht hierfür ein Primideal zu nehmen ()). $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ ist also das kartesische produkt der $\begin{eqnarray} J_i \end{eqnarray}$ und ist ein dichtes Ideal von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ als die Unteralgebra $\begin{eqnarray} J \cup J^* \end{eqnarray}$ von C. . Man definiert also $\begin{eqnarray} A = E \cap \prod_{i \in I} A_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = E \cap \prod_{i \in I} B_i \end{eqnarray}$ . Diese beiden Unteralgebras sind also dicht in C und disjunkt. Wie gesagt, ich verstehe nicht warum man noch ein J definieren muss, der rest ist verständlich... Vielen Dank für eure Antworten, das wären soweit alle Fragen die ich dies-bezüglich hätte noch einen schönen Tag wünsche ich euch (Verzeiht mir, wenn ihr Sachen nicht verstehen solltet, aber manche Definitionen musste ich provisorisch übersetzen (Ich studiere nämlich auf französisch, und da sind die definitionen etwas anders.. Ich schreibe hier im Forum, da mir deutschsprachige erklärungen lieber sind ) Also wenn mir jemand das erste Warum erklären könnte, und warum man den noch $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray*}$ definieren muss, da wäre ich sehr dankbar, kann mir einfach keinen reim daraus machen...

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