Faltung von Dichtefunktionen

02.09.2015, 19:25

lowbrow

Faltung von Dichtefunktionen

Guten Abend,

ich habe eine Frage bezüglich der Faltung von Dichtefunktionen. Es handelt sich hier um eine Zufallsvariable, die eine Summe aus zwei Zufallsvariablen ist:

$\begin{eqnarray*} uY+(1-u)Z+g(u),\qquad 0<u<1 \text{ und } Z\sim Y . \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass die gemeinsame Dichtefunktion die Faltung der Einzeldichten nach dem Schema

$\begin{eqnarray*} f_{U,V}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy \end{eqnarray*}$

ist. Das Resultat ist

$\begin{eqnarray*} f_{u}(x):=\int_{z\in\mathbb{R}}f(z)f\left(\frac{x-g(u)-(1-u)z}{u}\right)\frac{1}{u}\,dz , \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ sein muss. Ich kann diese Gleichung nicht ganz nachvollziehen. Könnte mir jemand die beiden $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in den Nennern der Brüche erklären, bzw. Zwischenschritte angeben? Als ich probiert habe mit den einzelnen Dichten auf diese Formel zu kommen, kam bei mir etwas sehr anderes heraus.

Danke

02.09.2015, 19:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von lowbrow
Mir ist klar, dass die gemeinsame Dichtefunktion, die Faltung der Einzeldichten nach dem Schema

$\begin{eqnarray*} f_{U,V}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy \end{eqnarray*}$

Du meinst hier sicher $\begin{align*} f_{U+V}(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_U(y)f_V(x-y) ~ \dd y \end{align*}$ .

Weiterhin solltest du wissen, dass für reelle Konstanten $\begin{align*} \alpha>0 \end{align*}$ die Beziehung

$\begin{align*} f_{\alpha U}(x) = \frac{1}{\alpha}f_U\left( \frac{x}{\alpha} \right) \end{align*}$

gilt, sowie auch für "Verschiebungen" $\begin{align*} f_{U+c}(x) = f_U(x-c) \end{align*}$ .

Durch Kombination dieser drei Eigenschaften kommst du zu deiner Formel ganz unten.

02.09.2015, 19:46

lowbrow

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Danke für die schnelle Antwort.

Genau das habe ich probiert, allerdings komme ich dann auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{u}f\left( \frac{z}{u}\right) \frac{1}{(1-u)}f\left( \frac{(x-z)-g(u)}{1-u}\right)\,dz \end{eqnarray*}$

In der Lösung wird nur der zweite Summand behandelt, als hätte er den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , daher doch die beiden Nenner, oder? Das verstehe ich nicht so recht, da doch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} (1-u) \end{eqnarray*}$ hat.

02.09.2015, 19:51

HAL 9000

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Es ist nicht falsch, aber du hast das etwas ungeschickt in die falsche Richtung gelenkt. Es ist

$\begin{align*} f_{uY}(x) = \frac{1}{u} f\left( \frac{x}{u} \right), \qquad f_{(1-u)Z}(x) = \frac{1}{1-u} f\left( \frac{x}{1-u} \right) \end{align*}$

mit der ersten Regel, dann wird gefaltet

$\begin{align*} f_{uY+(1-u)Z}(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{u(1-u)} f\left( \frac{t}{1-u} \right) f\left( \frac{x-t}{u} \right) ~ \dd t \end{align*}$

und verschoben

$\begin{align*} f_{uY+(1-u)Z+g(u)}(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{u(1-u)} f\left( \frac{t}{1-u} \right) f\left( \frac{x-g(u)-t}{u} \right) ~ \dd t \end{align*}$ ,

und abschließend noch $\begin{align*} t=(1-u)z \end{align*}$ substituiert, also $\begin{align*} \dd t = (1-u)~\dd z \end{align*}$ :

$\begin{align*} f_{uY+(1-u)Z+g(u)}(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{u} f(z) f\left( \frac{x-g(u)-(1-u)z}{u} \right) ~ \dd z \end{align*}$ .

EDIT: Du kannst auch deine Formel "retten", wenn du noch $\begin{align*} w=\frac{x-z-g(u)}{1-u} \end{align*}$ substitutierst, also $\begin{align*} z = x-g(u)-(1-u)w \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \dd z = -(1-u) ~ \dd w \end{align*}$ .

02.09.2015, 20:39

lowbrow

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Vielen Dank für deine Hilfe, du hast mir sehr weitergeholfen!

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