Lineare Abbildungen, Bild bestimmen

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Siggi2 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen, Bild bestimmen
Hallo, es geht um folgende Aufgabe:
Gegeben sei die lineare Abbildung
und drei Bilder der Abbildung:

a) bestimme L(x-1)
b) bestimme 2 Elemente aus Kern(L)
c) bestimme ein element, welches nicht im Bild(L) liegt.

Aufgabe a) und b) hab ich fertig.
Bei der c) bin ich leider fraglos..
Ich habe versucht das Bild von L allgemein zu bestimmen, indem ich ein allgemeines Polynom p(x) = ax^2+bx+c einsetze: Da L linear, gilt L(ax^2+bx+c) = aL(x^2+bL(x)+cL(1),
habe ich durch Umstellen raus bekommen.. allerdings weiß ich nicht, wie ich damit nun weiter arbeiten könnte..
Kann mir jemand behilflich sein?

Liebe Grüße!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

rechnen ist hier nicht nötig,noch dazu rechnest du sehr umständlich.
Du verwendest die Basis 1,x,x². Warum verwendest du nicht die Basis die, die Aufgabenstellung vorgibt. Das würde dir die ganze Rumrechnerei, die du um auf L(1),L(x),L(x²) zukommen allein schon sparen.

Es geht aber wie gesagt komplett ohne Rechnung:
Schau dir mal eine Basis des Bildes an, und vergleich die mit der vorgegebenen Basis.
Siggi2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Welche Basis ist denn vorgegeben? x+1 und 5x+5 sind ja linear abhängig. Woher weiß ich, was eine Basis des Bildes ist, wenn ich nur drei Bildelemente, nicht aber das gesamte Bild gegeben habe?

LG
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Basis ist denn vorgegeben?

Es steht in der gesamten Aufgabenstellung nur eine Basis, die Auswahlist also begrenzt.

Zitat:
x+1 und 5x+5 sind ja linear abhängig.

Bingo.


Das Bild ist das Erzeugnis dieser drei Vektoren, daher ist das ganze Bild gegeben.
Siggi2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre bild (L) = span {(-x^2-1), (x+1), (5x+5)} und somit {(-x^2-1), (x+1)} eine Basis des Bildes?
Falls ich das richtig sehe, woher weiß ich, dass das Bild mit diesen drei Elementen aufgespannt wird? Das leuchtet mir nicht so ganz ein.
wopi Auf diesen Beitrag antworten »

@Captain Kirk: die Zeit ist fortgeschritten und ich denke, du bist nicht mehr online.
Bitte, mich ggf. bzgl. meiner Ausführungen zu korrigieren!

ist linear unabhängig und bildet wegen dim(V)<=3 eine Basis des Urbildraumes.

Da - bei einer linearen Abbildung - die lineare Hülle der Bildmenge B einer Basis des Urbildraumes immer eine Basis des Bildraumes darstellt
und weil die Maximalzahl der linear unabhängigen Elemente von zwei beträgt,

ist die Bildmenge der Abbildung.


Gruß wopi
 
 
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