Überbuchung bei Flugtickets

04.09.2015, 12:16

PolyPeptide

Überbuchung bei Flugtickets

Meine Frage:

Hallo ihr Lieben, ich habe ein Frage:
Ich bin in vobereitung auf meine Statistik-Klausur und bin auf ein Problem gestoßen, wo ich immer wieder steckenbleibe.
Hier mal die Fragestellung der Aufgabe:

Eine Flugfirma hat Flugzeuge mit 380 Plätzen. Durch Erfahrung weis die Firma, das etwa 10% der Personen mit einem gültigen Ticket das Flugzeug nicht besteigen. Deshalb verkauft die Firma bis zu 407 Flugtickets pro Flug. Berechne die Wahrscheinlichkeit das mindestens eine Person mit einem Ticket abgewiesen wird, weil das Flugzeug schon voll ist!

Meine Ideen:

Mein ansatz ist:
n (nummer von Sitzen im Flugzeug) = 380
p (besteigen Flugzeug) = 90% = 0,9
q (besteigen Flugzeug nicht) = 10% = 0,1

Berechnung von der Standartabweichung:
$\begin{eqnarray*} sigma= \sqrt {n*p*q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sigma=\sqrt {380*0,9*0,1} \end{eqnarray*}$
sigma=5,84

Berechnung vom Durchschnitt:

µ= n*p
µ=380*0,90
µ=342

So. Dann:
$\begin{eqnarray*} p ( mindestens ein Sitz zu viel Verkauft) = p(x\geq 1)= p(x\geq 0,5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p(z \geq \frac {0,5-µ}{sigma} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p(z \geq \frac {0,5-342}{5,84} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p (z \geq -58,47) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1 - p(z \leq -58,47) \end{eqnarray*}$

und hier mein Problem:
$\begin{eqnarray*} =1 - \oplus (-58,47) \end{eqnarray*}$

Dieser Kreis, denkt euch einfach den horizontalen Balken weg, dann ist es das richtige Zeichen.
Was ist das für ein zeichen und wie rechne ich das aus? Ich habe zwar eine Formel für diesen kreis, aber das ergebnis stimmt nicht...

Ich bitte um eure hilfe,
Liebe Grüße

PolyPeptide

04.09.2015, 12:49

Math1986

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RE: Überbuchung bei Flugtickets
Dieses $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ (""Phi") ist die Standardnormalverteilung, dafür hat man keine Formel, sondern man liest es aus einer Tabelle ab oder berechnet es mit einem Taschenrechner.

04.09.2015, 12:54

HAL 9000

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Grundsätzlich falsch ist es, hier mit n=380 zu rechnen. Es werden n=407 Plätze verkauft, und somit ist $\begin{eqnarray*} X\sim B(407,0.9) \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl der tatsächlich in Anspruch genommenen Tickets.

04.09.2015, 13:13

PolyPeptide

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Das ich mit n=407 rechnen müsste, da wäre ich nicht alleine drauf gekommen Augenzwinkern

Okay, ich hab also jetzt alle werte neu ausgerechnet und eingesetzt, dann komme ich im endeffekt auf
z= - 60,41 und laut google ist jedes $\begin{eqnarray*} z \geq 4,09 \end{eqnarray*}$ ungefähr 1, und da ich von - 60,41 ausgehe also - 1 (?)

eingesetzt wäre das dann:

1 - (- (-1)) = 1 - (1) = 0 -> also wird es nie einen Flug geben wo ein Passagier zurückgewiesen wird weil das Flugzeug schon voll ist, richtig?

smile

04.09.2015, 13:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von PolyPeptide
Okay, ich hab also jetzt alle werte neu ausgerechnet und eingesetzt, dann komme ich im endeffekt auf
z= - 60,41

04.09.2015, 13:21

PolyPeptide

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nicht?

ich habe doch µ= 366 und sigma = 6,05, und wenn ich das einsetze in
$\begin{eqnarray*} \frac {0,5 - \mu }{sigma} \end{eqnarray*}$ dann kommt bei mir -60,41 raus?

04.09.2015, 13:24

HAL 9000

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Wieso 0,5 ??? Das Flugzeug ist überbelegt, wenn (bei 407 verkauften Tickets) mehr als 380 Passagiere einsteigen wollen - das und nur das ist Grundlage der Rechnung. Also wirf den ganzen fehlerhaften Mist aus deinem Eröffnungsbeitrag weg, und überlege nochmal neu!

04.09.2015, 13:34

PolyPeptide

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tut mir leid das ich gefragt habe wie ich die aufgabe lösen kann wenn ich keine ahnung habe..
da ich bis jetzt davon ausgegangen bin das meine annahme am anfang korrekt ist, habe ich auch damit weitergerechnet..

also. von vorne.

$\begin{eqnarray*} p (x \geq 380) = p (z\geq \frac {380- \mu} {\sigma} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p (z\geq \frac {380-366}{6,05} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p (z\geq 2,31) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1- p(z \leq 2,31) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1- \phi 2,31 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-0,98928 \end{eqnarray*}$
= 0,01072 = 1.07%

?

ich bin von 0,5 ausgegangen, weil ich die wahrscheinlichkeit von mindestens einem platz übebuchung ausrechnen wollte. Das ich auch einfach mit einem vollen Flugzeug rechnen kann, kam mir nicht in den sinn, da ein volles Flugzeug ja bedeutet das ich überbuchte plätze habe.

04.09.2015, 13:47

HAL 9000

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Die Rechnung ist soweit jetzt richtig - obwohl natürlich empfohlen wird, die Normalverteilungsapproximation mit einer Stetigkeitskorrektur zu verbinden, also sollte man eher $\begin{align*} 1-\Phi\left( \frac{380.5-\mu}{\sigma} \right) = 1-\Phi(2.346) = 0.00948 = 0.948\% \end{align*}$ rechnen.

Allerdings wird die ganze Normalverteilungsapproximation hier sowieso fragwürdig, wenn man wirklich mal mit der tatsächlich vorliegenden Binomialverteilung rechnet: Für $\begin{align*} X\sim B(407,0.9) \end{align*}$ ist

$\begin{align*} P(X>380) = 1-P(X\leq 380) \approx 0.006825 \end{align*}$

also ungefähr 0.68% - eine beträchtlicher relativer Fehler zum Approximationwert.

04.09.2015, 14:18

PolyPeptide

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okay, super! Vielen vielen Dank!
Gott

Von wegen Steigungskorrektur, ist es richtig wenn ich annehme, das wenn ich die wahrscheinlichkeit von etwas ausrechnen möchte was über den maximalen Wert meiner Werten geht 0,5 dazu rechne und wenn ich von etwas ausgehe, was mindestens soundsoviel von meinen Werten betrifft 0,5 abziehe?

Sprich 380 Sitzplätze, ich rechne aber mit 407, also korrigiere ich um +0,5
und
Insgesamt 8 kranke Vögel, wovon mindesten 2 Sterben, ich rechne mit 2 somit korrigiere ich um -0,5 ?

04.09.2015, 14:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von PolyPeptide
das wenn ich die wahrscheinlichkeit von etwas ausrechnen möchte was über den maximalen Wert meiner Werten geht 0,5 dazu rechne und wenn ich von etwas ausgehe, was mindestens soundsoviel von meinen Werten betrifft 0,5 abziehe?

Ich verstehe diese seltsame Formulierung nicht, überhaupt halte ich nichts von derart zusammengebastelten Merkregeln.

Versteht man die inhaltliche Grundlage, so ergibt sich alles ganz natürlich: Man stellt sich einfach vor, dass zu jedem (diskreten) Wert $\begin{align*} k \end{align*}$ der Binomialverteilung das um diesen Wert symmetrische Intervall $\begin{align*} \left[k-\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right] \end{align*}$ (d.h Intervalllänge 1) der approximierenden stetigen Normalverteilung gehört. Wird also $\begin{align*} X\sim B(n,p) \end{align*}$ durch $\begin{align*} Y\sim \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{align*}$ approximiert, so bedeutet dies in der Konseqenz

$\begin{align*} P(X=k) \approx P\left(k-\frac{1}{2}\leq Y\leq k+\frac{1}{2}\right) \end{align*}$

oder eben auch

$\begin{align*} P(X\leq k) \approx P\left(Y\leq k+\frac{1}{2}\right) = \Phi\left( \frac{k+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} P(X<k) = P(X\leq k-1) \approx P\left(Y\leq k-\frac{1}{2}\right) = \Phi\left( \frac{k-\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) \end{align*}$ .

Und noch ein Kommentar zur ganzen Approximiererei:

Die Normalverteilungsapproximation ist an den beiden "Rändern" der Verteilung nicht sonderlich gut. Das wird in der Schule bloß nicht erzählt, da wird bloß gesagt "ist $\begin{align*} \sigma^2=np(1-p) \end{align*}$ größer als 9, dann könnt ihr die Approximation verwenden", Friede, Freude, Eierkuchen. Augenzwinkern

Im Zeitalter der CAS bzw. neuer TR, die vielleicht auch schon umfangreichere Routinen zur Binomialverteilung haben, sollte die Verwendung dieser Approximation sparsamer geschehen (als früher, wo man das noch mit Rechenstab und/oder Tafelwerk tun musste), d.h. vielleicht bei wirklich großer Datenanzahl (nicht bei so "mittleren" $\begin{align*} n \end{align*}$ wie hier) und nicht am Rand der Verteilung.

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