Gleichung lösen

06.09.2015, 08:51

felixd

Gleichung lösen

Hallo,

stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch und komme nicht zurecht mit eines der drei Verfahren zur Berechnung von Gleichngssystemen.
Hier in diesem Fall soll ich nach x und y auflösen.

$\begin{eqnarray*} ax + by = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -bx + ay = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand vielleicht einen Ansatzpunkt geben...
Danke

verwirrt

06.09.2015, 09:23

adiutor62

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RE: Gleichung lösen
Multipliziere die 1. Gleichung mit a, die 2. mit b und addiere dann die neuen Gleichungen.

06.09.2015, 09:34

felixd

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meinst du das vielleicht umgekehrt, weil wenn ich es so mache wie du geschrieben hast fällt ja keen variable weg

06.09.2015, 09:35

adiutor62

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Sorry, das war ein Tippfehler. traurig

Natürlich muss es umgekehrt sein.

06.09.2015, 09:37

sulo

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Es könnte schon funktionieren, man müsste nur subtrahieren statt zu addieren. Augenzwinkern

06.09.2015, 09:42

felixd

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okay kein ding dann müsste da stehen:

$\begin{eqnarray*} abx + b^2 y = a^2b + b^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -abx + a^2 y = a^3 + ab^2 \end{eqnarray*}$

06.09.2015, 09:46

felixd

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<=>

$\begin{eqnarray*} a^2y + b^2y = a^2 b + a^3 + b^3 + ab^2 \end{eqnarray*}$

06.09.2015, 09:50

adiutor62

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Ich würde die rechten Seiten nicht ausmultiplizieren. Sonst passt alles. Jetzt addieren, am besten mit den nicht ausmultiplizierten rechten Seiten. Das ist später von Vorteil.

06.09.2015, 09:51

adiutor62

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Klammere jetzt y links aus und verwende rechts : (a+b)*(a^2+b^2)

06.09.2015, 09:57

felixd

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okay das y kann ich dan ausklammern aber ich versthe nicht wie rechte seite dann bei dir zu stande kommt?

06.09.2015, 10:00

adiutor62

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rechts steht nach der Addition:

$\begin{eqnarray*} (a^2+b^2)*b+(a^2+b^2)*a \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} (a^2+b^2) \end{eqnarray*}$ ausklammern

06.09.2015, 10:01

felixd

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okay doch verstehe also du multiplzierst die rechte site aus. das heißt dann:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(a+b)*(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ richtig???

06.09.2015, 10:04

adiutor62

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Passt. Und jetzt kannst du schön kürzen um ein einfacheres Ergebnis für y zu erhalten.

06.09.2015, 10:10

felixd

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Nach dem kürzen steh dann :

$\begin{eqnarray*} y = a + b \end{eqnarray*}$

vielen dank für dei Hilfe, den Rest setzte ich dann ein um x zu ermitteln.

06.09.2015, 10:12

adiutor62

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So ist es. Viel Spaß beim Einsetzen. Wink

06.09.2015, 10:22

felixd

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Laut Lehrbuch müsste $\begin{eqnarray*} x= a-b \end{eqnarray*}$ sein

das heißt also

$\begin{eqnarray*} ax + b(a + b) = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax + ab + b^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} / -b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax + ab = a^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} / - ab \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax = a^2 - ab \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} / :a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{a^2 - ab}{a} \end{eqnarray*}$

und was mach ich dann??

06.09.2015, 10:33

adiutor62

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Kürze den Bruch mit a.

06.09.2015, 10:39

felixd

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okay war mir nicht sicher ob es das darf, weil dazwischen ein minuszeichen steth (differenzen und summen)

aber gut so steht dann:

$\begin{eqnarray*} x = a - b \end{eqnarray*}$

06.09.2015, 10:44

adiutor62

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a ist der gemeinsame Nenner. Man kann den Bruch wieder in zwei Teile zerlegen und problemlos kürzen.

$\begin{eqnarray*} a^2/a - ab/a \end{eqnarray*}$

Das von dir vermutete Problem stellt sich hier also nicht.

06.09.2015, 10:49

Bjoern1982

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Zitat:

Das von dir vermutete Problem stellt sich hier also nicht.

Doch tut es, denn entweder sagt man das mit dem Aufteilen direkt dazu (das kann der Fragesteller ja nicht riechen).
Andernfalls ist der Einwand von felixd genau richtig, dass bei ihm da sofort die Alarmglocken angehen und er direkt an "aus Summen kürzen nur..." denkt. Freude

Mit anderen Worten kann man auch sagen, dass man im Zähler zunächst durch ausklammern von a für ein Produkt sorgen könnte.
Dann sieht das Ergebnis in der Tat sehr kompakt aus, wie ich finde. Augenzwinkern

Ich hoffe adiutor62 weiß, dass die Aufgabe noch nicht ganz erledigt ist - eine Sache fehlt noch.

06.09.2015, 11:02

adiutor62

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Ich hatte geschrieben "Kürze den Bruch mit a". Damit wäre eigentlich alles Notwendige gesagt gewesen. Gedankenlos habe ich dann die Bruchzerlegung genommen statt Zähler und Nenner sofort mit a zu kürzen.

Mit der Bestimmung von x und y sollte die Aufgabe mMn erledigt sein.
Vllt. sollte man noch erwähnen, dass a ungleich 0 gelten muss.

06.09.2015, 11:07

Bjoern1982

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Zitat:

Vllt. sollte man noch erwähnen, dass a ungleich 0 gelten muss.

Nicht nur a. Und etwas mehr dazu sagen sollte man zudem auch.
Kannst du das oder bleibt es bei den gewohnt kurzen, beiläufigen Bemerkungen ?

06.09.2015, 11:12

adiutor62

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Ebenso muss gelten: a^2+b^2 ungleich Null.

Den Rest darfst du gerne ergänzen.

06.09.2015, 11:21

Bjoern1982

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Entscheidend ist eben, dass du zu Beginn Gleichungen mit Variablen multipliziert hast und man das ja nur dann ungestraft (im Sinne der gültigen Äquivalenz) tun kann, wenn diese nicht Null sind.
Daher muss man die Fälle a=0 und b=0 direkt am Anfang ausschließen, also diese Multiplikationen nur für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \ \text{und} \ b \neq 0 \end{eqnarray*}$ durchführen und dann zumindest auch am Ende ein Wort über den Fall a=0 und b=0 verlieren, denn für diesen Fall entsteht zweimal 0=0, also wahre Aussagen, wodurch das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.
Das mag der ein oder andere jetzt pingelig finden, gehört aber nun mal dazu.

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