Klausuraufgaben: Mengen skizzieren + Berechnungen - Seite 2

11.09.2015, 12:18

Seppelkoi

Ich muss vorweg sagen, dass ich das noch nie gemacht hab und hoffe, ich hab die Polarkoords richtig verstanden, hab mir das gestern mal durchgelesen. Ich meinte übrigens die Fubini Regel wie von dir richtig erkannt. Hatte nur wirklich den Namen vergessen.

Ok, das heißt ich will ja "einmal ganz herum" integrieren, also geht mein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in Sinus und Cosinus jeweils von $\begin{eqnarray*} 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x = rcos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = rsin(\phi) \end{eqnarray*}$

Mein r müsste ja dann von der inneren Linie des Donuts bis zur äußeren Linie des Donuts gehen, also

$\begin{eqnarray*} 1\leq r\leq \sqrt{4} \end{eqnarray*}$

richtig? Also lautet meine neue Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(r^2cos^2(\phi)+r^2sin^2(\phi))^2} \end{eqnarray*}$

mit bereits von mir genannten Werten für r und phi.

Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{r=1}^{\sqrt{4} } \! \int_{\phi=0}^{2\pi } \! \frac{1}{(r^2cos^2(\phi)+r^2sin^2(\phi))^2} \,dr d\phi \end{eqnarray*}$

Kann ich damit anfangen? smile

11.09.2015, 12:29

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups... Die Wurzel aus 4 ist natürlich 2 und das hätte ich ja mal ausrechnen können...

Also hat der äußere Kreis des Donuts den Radius 2 und auch das r geht bis 2!

11.09.2015, 12:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Seppelkoi
Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{r=1}^{\sqrt{4} } \! \int_{\phi=0}^{2\pi } \! \frac{1}{(r^2cos^2(\phi)+r^2sin^2(\phi))^2} \,dr d\phi \end{eqnarray*}$

Kann ich damit anfangen? smile

Fast richtig. Bei der Substitution wird aus dem "dxdy" ein $\begin{eqnarray*} r~dr~d\phi \end{eqnarray*}$ .

Korrekt ist also: $\begin{eqnarray*} \int_{r=1}^{2} \! \int_{\phi=0}^{2\pi } \! \frac{r}{(r^2cos^2(\phi)+r^2sin^2(\phi))^2} \,dr d\phi \end{eqnarray*}$

11.09.2015, 12:55

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch was vergessen, ich lese grad, dass sich durch die Transformation des Integrals immer noch ein Faktor r dazu ergibt, also $\begin{eqnarray*} dxdy= rdrd\phi \end{eqnarray*}$

Ich hab einfach mal angefangen:

$\begin{eqnarray*} \int_{r=1}^{2} \! \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \frac{r}{(r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))^2} \, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_{r=1}^{2} \! \frac{1}{r^3} \, dr \end{eqnarray*}$

Und das Integriert mit der Stammfunktion $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2r^2} \end{eqnarray*}$ ergibt mit den Grenzen als Endergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

smile

11.09.2015, 13:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Seppelkoi
$\begin{eqnarray*} =\int_{r=1}^{2} \! \frac{1}{r^3} \, dr \end{eqnarray*}$

Wo ist das Integral über phi geblieben? verwirrt

11.09.2015, 13:36

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich dachte da:

$\begin{eqnarray*} cos^2(\phi) + sin^2(\phi)=1 \end{eqnarray*}$

fällt das dann raus. Aber du willst bestimmt darauf hinaus, dass ich den gesamten Term dann mit Phi noch multiplizieren muss, da die Integrationsvariable nicht mehr vorhanden ist, richtig?

Also

$\begin{eqnarray*} \int_{r=1}^{2} \! \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \frac{1}{r^3} \, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(r,\phi)= -\frac{\phi}{2r^2} \end{eqnarray*}$

So oder?

11.09.2015, 13:40

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war schon wieder Müll, vergiss das einfach, ich weiß was ich falsch gemacht hab und rechne nochmal smile

11.09.2015, 13:47

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \! \frac{2\pi}{r^3} \, dr \end{eqnarray*}$

Das ist das Integral bis r. Dann:

$\begin{eqnarray*} F(r)=- \frac {2\pi}{2r^2} \end{eqnarray*}$

Und damit dann:

$\begin{eqnarray*} \frac {6\pi} {8} \end{eqnarray*}$

11.09.2015, 13:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du noch kürzt, dann hast du 100 Punkte. Freude

11.09.2015, 16:44

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da geht noch was:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{4} \end{eqnarray*}$

smile

Vielen vielen Dank für eure Hilfe. Ich weiß das echt zu schätzen.

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Klausuraufgaben: Mengen skizzieren + Berechnungen - Seite 2

Verwandte Themen